[feriva]

Buenas tardes ¿de qué manera puedo llegar a la respuesta \( {n \in{\left\{{2,\sqrt{8}}\right\}}} \) en el siguiente problema, y sin probar los valores?

Como ya ha hecho ver manoooh, falta el cero.

...

Primeramente, \( n^{2}=2m \); es decir, es un par.

Por otra parte, al ser de un dígito, de una sola cifra, tienes que

\( n^{2}<10\Rightarrow \)

\( n<\sqrt{2\cdot5} \).

De este modo se deduce que lo máximo que vale “m”, según \( n=\sqrt{2m} \), es 4.

Lo demás es trivial, sólo quedan m=2 y m=0.

Saludos.

[freddyalpiano]

Buenas tardes ¿de qué manera puedo llegar a la respuesta \( {n \in{\left\{{2,\sqrt{8}}\right\}}} \) en el siguiente problema, y sin probar los valores?

Como ya ha hecho ver manoooh, falta el cero.

...

Primeramente, \( n^{2}=2m \); es decir, es un par.

Por otra parte, al ser de un dígito, de una sola cifra, tienes que

\( n^{2}<10\Rightarrow \)

\( n<\sqrt{2\cdot5} \).

De este modo se deduce que lo máximo que vale “m”, según \( n=\sqrt{2m} \), es 4.

Lo demás es trivial, sólo quedan m=2 y m=0.

Saludos.

Sí, me he dado cuenta también de eso. Quien puso la respuesta correcta se olvidó de que 60 también es divisible por 4. Claro entonces serían los 3 valores (cero, dos y raiz de 8)

PD: porque no se menciona que n es entero.

Gracias, saludos.

[Masacroso]

Dado un número natural de \( m \) cifras tal número se puede escribir como \( \sum_{k=0}^{m-1}c_k 10^k \), donde \( c_k\in\{0,\ldots,9\} \) para cada \( k \). Entonces como \( 4 \) divide a \( 10^k \) cuando \( k\geqslant 2 \) entonces la divisibilidad por \( 4 \) de cualquier número natural dependerá únicamente de sus dos últimas cifras, es decir, de \( c_0 \) y \( c_1 \).

Por tanto con un poco de análisis se puede ver que un número natural es divisible por cuatro si y solo si la última cifra es par y, además, esta última cifra dividida por dos tiene la misma paridad que la penúltima cifra (en un número natural de una cifra la penúltima cifra se puede considerar cero). Lo mismo usando fórmulas se puede escribir como

\( \displaystyle{
4 \mid \sum_{k=0}^{m-1}c_k10^k \iff 2\mid c_0 \,\land\, 2\mid\frac{c_0}{2}+ c_1\iff 4\mid c_0+2c_1
} \)

Por consiguiente en el caso que nos ocupa tenemos que \( n^2 \) debe ser divisible por \( 4 \), además de ser un número de una cifra, es decir que \( n^2\in \{0,4,8\} \). Si \( n \) tiene que ser un número natural y además consideramos (con acierto ) que el cero no es número natural, entonces la única solución es \( n=2 \). Si por el contrario asumimos que \( n \) puede ser cualquier número real, entonces el conjunto solución será \( \{-2\sqrt{2},-2,0,2,2\sqrt{2}\} \).

[feriva]

Si \( n \) tiene que ser un número natural y además consideramos (con acierto ) que el cero no es número natural, entonces la única solución es \( n=2 \). Si por el contrario asumimos que \( n \) puede ser cualquier número real, entonces el conjunto solución será \( \{-2\sqrt{2},-2,0,2,2\sqrt{2}\} \).

Perdón, había entendido mal

Bueno, no estoy seguro de si estoy entendiendo o no; dices "Si \( n \) tiene que ser un número natural y además consideramos que el cero no es número natural, entonces la única solución es \( n=2 \)".
Si dices que la única solución es n=2 por no considerar el conjunto con el cero, discrepo, porque entonces no consideraríamos ningún número acabado en cero: 10 no se podría considerar tampoco, porque acaba en la cifra cero y el cero no es un número natural. Ahí n cuadrado tiene función de cifra, por mucho que sea un número.

En mi opinión, en este caso, no tiene que entenderse así (ya se considere el conjunto con el cero o sin él) porque \( n^{2} \) ahí no es en sí un número como tal; en caso de ser cero, es la última cifra del número 3640.

Saludos.

[Masacroso]

En mi opinión, en este caso, no tiene que entenderse así (ya se considere el conjunto con el cero o sin él) porque \( n^{2} \) ahí no es en sí un número como tal; en caso de ser cero, es la última cifra del número 3640.

Una cifra, de un número en base decimal, es un número entre cero y nueve, ¿que otra cosa puede ser si no?

[feriva]

En mi opinión, en este caso, no tiene que entenderse así (ya se considere el conjunto con el cero o sin él) porque \( n^{2} \) ahí no es en sí un número como tal; en caso de ser cero, es la última cifra del número 3640.

Una cifra, de un número en base decimal, es un número entre cero y nueve, ¿que otra cosa puede ser si no?

Ya, pero pregunta que qué tiene que pasar para que \( 346n^2 \) sea mútliplo de 4, y \( 3460\in\mathbb{N}^{*} \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Ya, pero pregunta que qué tiene que pasar para que \( 346n^2 \) sea mútliplo de 4, y \( 3460\in\mathbb{N}^{*} \).

feriva: yo tampoco entiendo que has querido puntualizar ni decir.

No se que tiene que ver eso con la cita de Masacroso.

Saludos.

[feriva]

feriva: yo tampoco entiendo que has querido puntualizar ni decir.

No se que tiene que ver eso con la cita de Masacros

Ah, perdón, que había entendido mal lo que decía. Nada de lo dicho.

Había entendido que decía que si se consideraba el conjunto de los naturales sin el cero, entonces n^2=0 no era solución; pero sí lo es, porque si no lo consideramos estamos prescindiendo de 3460 que es múltiplo de cuatro y pertenece a los naturales sin el cero.

Gracias, Luis.