Dada la gráfica, calcule: \( m < DRO \). (R:\( 66^o  \))


Pensé en demostrar que OE es perpendicular a DP y así se crearía el cuadrilátero DLOR y se resolvería el problema pero no pude.
Vi una resolución que usa \( < DPF+\theta = 42^o +24^o( ok), < RDO =24^o , < DRL = 24^o + <DPF \) y por lo tanto \( < DRO = 24^o +DPF + \ theta =24+42 = 66^o \) pero no entendí algunos pasos

Cita de: petras en 14 Mayo, 2024, 08:53 pm

Creo que entiendo... si la solución presenta 0=0 tendremos cualquier valor posible respetando las desigualdades del problema... ¿Es correcto?

Correcto. Fijate que la ecuación se cumple para todo valor de x, pero nosotros tenemos que restringirlo dentro de la igualdad que la cumple.

Agradecido

Saludos

Cita de: Luis Fuentes en 14 Mayo, 2024, 05:35 pm

Hola

Cita de: petras en 14 Mayo, 2024, 04:50 pm

Resuelve la ecuación \( |2x+7|+|2x-1| = 8 \) (R:\( -3,-2,-1,0) \)
Utilicé el formulario básico y encontré... Los resultados están verificados.
\( 2x+7 +2x-1=8 \implies 4x = 2 \therefore x = \frac{1}{2}\\
-2x-7-2x+1 = 8 \implies x = -\frac{7}{2}\\
\color{red}2x+7-2x+1 = 8 \implies  0 = 0\color{black}\\
-2x-7+2x-1 = 8 \implies \cancel{0 = 16} \)

Es interesante además que notes que lo marcado en rojo se cumple siempre. Es decir que llegues a \( 0=0 \) quiere decir que esa ecuación se cumple siempre.

Esa ecuación surge de suponer que al deshacer los valores absolutos \( 2x+7\geq 0 \) y \( 2x-1\leq 0 \), lo que equivale a \( x\in [-7/2,1/2] \).

Saludos.

Aquí porque sale un intervalo. Una ecuación se cumple siempre.

Agradecido

Hola

Cita de: petras en 14 Mayo, 2024, 04:50 pm

Resuelve la ecuación \( |2x+7|+|2x-1| = 8 \) (R:\( -3,-2,-1,0) \)

Cita de: petras en 14 Mayo, 2024, 04:50 pm

Pero utilizando la solución proporcionada, también se verifican los resultados. ¿Qué faltaría?
¿Por qué no se consideraron \( \frac{1}{2} \) y \( -\frac{7}{2} \)? ¿Sería un error en el enunciado que debería pedir las soluciones enteras?"

Sí. Debería aclarar que pide las soluciones enteras; en otro caso la solución es el intervalo \[ \left[-\frac72,\frac12\right] \] que se halla considerando cuatro casos:

1) \( 2x+7\geq0\land2x-1\geq0 \)

2) \( 2x+7\geq0\land2x-1<0 \)

3) \( 2x+7<0\land2x-1\geq0 \)

4) \( 2x+7<0\land2x-1<0 \)

Saludos

Agradecido, pero tenia una duda. ¿No son los 4 casos que mencionaste los intervalos para resolver la ecuación? ¿Por qué serían la solución? ¿La resolución no se hace como la resolví?  Outro ejemplo, |x+1|+|x-1| = 6

\( |x+1|+|x-1| = 6\\
x+1+x-1=6 \implies x=3\\
-x-1-x+1 =6 \implies x=-3\\
x+1-x+1 = 6 \implies \cancel{2=6}\\
-x-1+x-1 = 6 \implies \cancel{-2 =6}\\
S\{-3,3\}   \)

La clave de respuestas es correcta y la resolví de la misma manera. ¿Por qué no obtuve el resultado de la pregunta publicada anteriormente como lo hice en el resultado de esta pregunta?
No entiendo que el resultado de la ecuación sea un rango de valores... ¿Podrías explicarme?

Cita de: petras en 14 Mayo, 2024, 01:56 am

En un triángulo \( ABC \), la circunferencia que circunscribe su triángulo pedal corta a \( AH  \)y \( CH  \)en \( M \) y \( N \), \( H \) es el ortocentro del triángulo \( ABC \). Calcular \( MN \), si \( AC=16 \).(R:\( 8 \))



Puedo demostrar que \( MN  \)es paralelo a \( AC \). Necesitaría demostrar que \( MN  \)es la base promedio del triángulo \( AHC \).

Si ya has demostrado eso, entonces llamando \( S \) al punto de intersección entre \( MN \) y \( HQ \) tienes que el triángulo (rectángulo) \( \triangle{MHS} \) es semejante a \( \triangle{AHQ} \).

Además \( \angle QMN = \angle NMH \), ya que los arcos \( RN \) y \( NQ \) están separados por la bisectriz \( PN \), por lo que el triángulo \( \triangle{QMH}  \) es isósceles, lo que implica que \( HS = SQ \), por lo que el triángulo \( \triangle MHN \) es la mitad del triángulo \( \triangle AHC \)..

Saludos.

Excelente

Agradecido

Saludos

Cita de: petras en 13 Mayo, 2024, 08:13 pm

Sea M un punto interior de un triángulo equilátero \( ABC \), tal que el ángulo \( MAC = 24° \) y el ángulo \( MBC = 28° \). Externamente y con respecto al segmento \( AC \), se toma un punto \( R \), de modo que el triángulo \( ARM  \)es equilátero. Calcula, en grados, la medida del ángulo \( MRC \). (R:\( 52^o \))

Los triángulos \( \triangle{ABM} \) y \( \triangle{ACR} \) son congruentes, ya que comparten dos lados (los de los dos triángulos equiláteros) y el ángulo comprendido entre ellos. De donde \( \angle ACR = 32^o \)

Luego \( \angle CRM = 180^o - (32^o + 36^o + 60^o) = 52^o \)

Saludos.

Agradecido

Saludos

Hola y si lo formas con


1.1.1.1.2.4.3.5
1.1.1.1.1.8.3.5
1.1.1.1.2.2.6.5
1.1.1.1.1.4.6.5

También tienen 8 cifras que multiplicadas dan 120 

no entendi muy bien como los calcularon, pero si sigo la mnemotécnica


1.1.1.1.2.4.3.5 tiene $$\dfrac{8!}{4!1!1!1!1!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680$$

1.1.1.1.1.8.3.5 tiene $$\dfrac{8!}{5!1!1!1!}=8\cdot7\cdot6=336$$

1.1.1.1.2.2.6.5 tiene $$\dfrac{8!}{4!2!1!1!}=4\cdot7\cdot6\cdot5=840$$

1.1.1.1.1.4.6.5 tiene $$\dfrac{8!}{5!1!1!1!}=8\cdot7\cdot6=336$$

en total $$N=1120+1680+336+840+336= 4312$$

Saludos

Agradecido

Cita de: petras en 07 Mayo, 2024, 07:28 pm

Cita de: Pie en 07 Mayo, 2024, 03:49 pm

No me sale exacto pero bueno..



Tenemos que:

\[ PN = 17\sqrt{2} \]
\[ \angle PBA = 90-(56+17) = 17^o \]
\[ \angle APB = 180 - (45+17) = 118^o \]
\[ \angle NPA = 45+17 = 62^o \]

Luego:

\[ AP = PN\cos(62^o) =17\sqrt{2}\cos(62^o) \]

Por el teorema del seno en el triángulo \( \triangle{BAP} \):

\[ \frac{AB}{\sin(118^o)} = \frac{AP}{\sin(17^o)} \Longrightarrow{} AB = AP \frac{\sin(118^o)}{\sin(17^o)} = 17\sqrt{2} \frac{\cos(62^o)\sin(118^o)}{\sin(17^o)}\approx{34.08} \]

Y el radio del circulo es:

\[ 2r = \frac{AB}{\sin(56^o)} \Longrightarrow{} r \approx{20.55} \]

De donde:

\[ \frac{x}{r} = \sin(17^o\cdot{2}) \Longrightarrow{} x = r \sin(34^o) \approx{11.5} \]

Saludos.

Una pregunta... ¿de dónde viene \( \frac{x}{r} = sin34 \)?

Saludos

Si unes el centro del círculo con el punto de intersección entre \( BN \) y \( x \) te queda un triángulo rectángulo de hipotenusa \( r \), cateto \( x \) y ángulo opuesto igual al doble del ángulo inscrito (\( 17\cdot{2} = 34^o \)).

PD. Sorry por no hacer el dibujo esta vez, tenía algo de prisa (tampoco se me ocurre hacerlo de otra forma  )..

Saludos.

Agradecido...comprendido

Saludos

No me sale exacto pero bueno..



Tenemos que:

\[ PN = 17\sqrt{2} \]
\[ \angle PBA = 90-(56+17) = 17^o \]
\[ \angle APB = 180 - (45+17) = 118^o \]
\[ \angle NPA = 45+17 = 62^o \]

Luego:

\[ AP = PN\cos(62^o) =17\sqrt{2}\cos(62^o) \]

Por el teorema del seno en el triángulo \( \triangle{BAP} \):

\[ \frac{AB}{\sin(118^o)} = \frac{AP}{\sin(17^o)} \Longrightarrow{} AB = AP \frac{\sin(118^o)}{\sin(17^o)} = 17\sqrt{2} \frac{\cos(62^o)\sin(118^o)}{\sin(17^o)}\approx{34.08} \]

Y el radio del circulo es:

\[ 2r = \frac{AB}{\sin(56^o)} \Longrightarrow{} r \approx{20.55} \]

De donde:

\[ \frac{x}{r} = \sin(17^o\cdot{2}) \Longrightarrow{} x = r \sin(34^o) \approx{11.5} \]

Saludos.

Agradecido

Creo que debe haber otra manera...solo con una calculadora sería posible resolverlo de esta manera

Saludos

Cita de: petras en 06 Mayo, 2024, 09:47 pm

¿Podrías explicar cómo llegó la igualdad a distancia? Lo intenté
\(  r:y = mx +b \implies m = \frac{(b - d)}{(a - c)}\\
(a,c) \in r \implies c=\dfrac{b-d}{a-c}.a+b \implies b = \dfrac{ac-c^2-ab+ad}{a-c}\\
y - m(x)-b=0 \implies y - (\dfrac{b-d}{c-a})x-b  \implies (c-a)y-(b-d)x-(c-a).\dfrac{ac-c^2-ab+ad}{a-c}=0\\
(c-a)y-(b-d)x+ac-c^2-ab+ad=0 \implies (c-a)y-(b-d)x+c(a-c)+a(d-b)=0\\
d = \dfrac{|c|}{|\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}}=\dfrac{|c(a-c)+a(d-b)|}{|\sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2}} \)

Uff, no te compliques. La recta que pasa por \( P(a,b) \) y \( Q(c,d) \) es

        \( \begin{vmatrix}{x}&{y}&{1}\\{a}&{b}&{1}\\{c}&{d}&{1}\end{vmatrix}=0 \)

y desarrollando,

        \( (b-d)x+(c-a)y+ad-bc=0 \).

Entonces,

        \( d[(0,0),PQ]=\displaystyle\frac{|ad-bc|}{\underbrace{\sqrt{(b-d)^2+(c-a)^2}}_{1}} \).     

Agradecido