Dada la ecuación:
\( ax+by=c \)
con \( a,b,c \) enteros se trata de calcular todos los pares de enteros \( (x,y) \) que verifican la ecuación.
Teorema:
La ecuación \( ax+by=c \) anterior tiene solución si y sólo si \( m.c.d.(a,b) \) divide a \( c. \)
Método sistemático para hallar la solución:
Spoiler
1) Calcular numeros enteros \( x',y' \) tales que \( ax'+by'=m.c.d(a,b) \). Para ello podemos usar el algoritmo extendido de euclides (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=26742.0) que nos da al mismo tiempo el \( m.c.d(a,b) \) y los números \( x',y' \).
2) Si \( c \) no es múltiplo de \( m.c.d.(a,b) \) no tiene solución.
3) Si \( c \) es múltiplo de \( m.c.d(a,b) \) una solución particular de la ecuación es:
\( (x_0,y_0)=\left(\dfrac{cx'}{m.c.d(a,b)},\dfrac{cy'}{m.c.d(a,b)}\right) \)
4) La solución general es:
\( (x,y)=(x_0,y_0)+k\left(\dfrac{b}{m.c.d(a,b)},\dfrac{-a}{m.c.d(a,b)}\right) \)
Ejemplo I:
Hallar todas las soluciones de la ecuación diofántica \( 12x+10y=6 \).
Spoiler
1) Calculamos el \( m.c.d \) por el algoritmo de euclides:
\( 12=10\cdot 1+2 \)
\( 10=2\cdot 5+0 \)
de donde \( m.c.d(12,10)=2 \) y \( 12\cdot 1-10\cdot 1=2 \).
2) El término indpendiente \( 6 \) es múltiplo del \( m.c.d=2 \). Por tanto existe solución.
3) Una solución particular de la ecuación es:
\( (x_0,y_0)=\left(\dfrac{1\cdot 6}{2},-\dfrac{1\cdot 6}{2}\right)=(3,-3) \)
4) La solución general es:
\( (x,y)=(3,-3)+k\left(\dfrac{10}{2},\dfrac{-12}{2}\right)=(3,-3)+k(5,-6) \) con \( k\in Z \)