Autor Tema: Continuidad uniforme

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23 Septiembre, 2017, 10:05 pm
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Juan Pablo Sancho

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Otro teorema de funciones continuas.

Sea \(  f  \) continua en \( [a,b] \) entonces es uniformemente continua.

Supongamos que no es uniformemente continua, entonces :

Existe un \( \epsilon > 0 \) tal que para todo \(  \delta > 0  \) existen \( x,y \in [a,b]  \) con \( |x-y| < \delta  \) y \(  |f(x) - f(y)| \geq \epsilon  \)

Entonces dado:

\(  \epsilon > 0  \)

Existe \( \delta_1 = 1 \) tal que \( |x_1-y_1| < \delta_1  \) y \(  |f(x_1)-f(y_1)| \geq \epsilon  \)

Existe \( \delta_2 = \dfrac{1}{2}  \) tal que \( |x_2-y_2| < \delta_2  \) y \(  |f(x_2)-f(y_2)| \geq \epsilon  \)

Existe \( \delta_3 = \dfrac{1}{3}  \) tal que \( |x_3-y_3| < \delta_3  \) y \(  |f(x_2)-f(y_2)| \geq \epsilon  \)

Inductivamente para \( n \geq 1  \) existirá un \( \delta_n = \dfrac{1}{n}  \) verificando :


\( |x_n-y_n| < \delta_n  \) y \(  |f(x_n)-f(y_n)| \geq \epsilon  \)

Sea la sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) entonces por estar acotada tiene una subsucesión convergente \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \)

Sea \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \Phi  \)

Esto obliga a que:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} y_{k_n} = \Phi  \)

Por ser:

\( |y_{k_n} - \Phi| \leq |y_{k_n} - x_{k_n}| + |x_{k_n} - \Phi|  \)

Como \(  f  \) continua en \(  \Phi  \) tenemos que dado \( \epsilon > 0  \):

Existe un \(  n_1 \in \mathbb{N}   \) tal que si \( n \geq n_1  \) entonces \( |f(x_{k_n}) - f(\Phi)| < \dfrac{\epsilon}{2}  \)

Existe un \(  n_2 \in \mathbb{N}   \) tal que si \( n \geq n_2  \) entonces \( |f(y_{k_n}) - f(\Phi)| < \dfrac{\epsilon}{2}  \)

Sea :

\(  n_0 = max (n_1,n_2)  \)


Entonces si \(  n \geq n_0  \) entonces:

\( |f(x_{k_n}) - f(y_{k_n})| \leq |f(x_{k_n}) - f(\Phi)| + |f(\Phi) -  f(y_{k_n})| < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon  \)


Esta demostración o muy parecida la vi en un libro de varias variables (si hay algún error con probabilidad \( 1 \) es mío) me gusto y así intente sacar las dos primeras demostraciones sobre continuidad del otro hilo.



23 Septiembre, 2017, 11:27 pm
Respuesta #1

Buscón

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Sea \(  f  \) continua en \( [a,b] \) entonces es uniformemente continua.

¿Que es la continuidad no uniforme?

??? ??? ???

Saludos.

23 Septiembre, 2017, 11:46 pm
Respuesta #2

Buscón

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Otro teorema de funciones continuas.

Sea \(  f  \) continua en \( [a,b] \) entonces es uniformemente continua.


Mírate esto

http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/CalculoII/2012-13/Uniforme.pdf,

ahí se dice que una función uniformemente continua es continua pero el recíproco no es cierto.


Saludos.

24 Septiembre, 2017, 01:08 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Si lo sé, el teorema se basa en que hay que exigir a una  función continua para que sea uniformemente continua.

Estas dos funciones son continuas pero no uniformementes continuas:

\( f(x) = x^2  \) en \( \mathbb{R}  \) es continua pero no uniformemente continua.

Se puede observar que  \( f(n +\dfrac{1}{n})-f(n) > 2  \) para todo \(  n \in \mathbb{N}  \)

Y encontrar por que no será uniformemente continua.

También se puede ver con esta función \(  f(x) = \dfrac{1}{x}  \) en \( ]0,1] \)

Lo que dice la demostración es que si es continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua.

24 Septiembre, 2017, 01:44 pm
Respuesta #4

Buscón

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Si lo sé, el teorema se basa en que hay que exigir a una  función continua para que sea uniformemente continua.

Estas dos funciones son continuas pero no uniformementes continuas:

\( f(x) = x^2  \) en \( \mathbb{R}  \) es continua pero no uniformemente continua.

Se puede observar que  \( f(n +\dfrac{1}{n})-f(n) > 2  \) para todo \(  n \in \mathbb{N}  \)

Y encontrar por que no será uniformemente continua.

También se puede ver con esta función \(  f(x) = \dfrac{1}{x}  \) en \( ]0,1] \)

Lo que dice la demostración es que si es continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua.

Pues    \( f:[1,4]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=x^2 \),    esto es, la restricción de    \( f \)    al intervalo cerrado    \( [1,4] \),

\( f_{|[1,4]} \),    sigue siendo continua en dicho intervalo.


Saludos.

EDITO.

La continuidad uniforme depende en gran medida del    \( \epsilon \)    que fijemos. Con uno lo suficientemente grande ninguna función continua será uniformemente continua. Y con uno lo suficientemente pequeño toda función continua será uniformemente continua ¿No?

24 Septiembre, 2017, 02:27 pm
Respuesta #5

Ignacio Larrosa

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Si lo sé, el teorema se basa en que hay que exigir a una  función continua para que sea uniformemente continua.

Estas dos funciones son continuas pero no uniformementes continuas:

\( f(x) = x^2  \) en \( \mathbb{R}  \) es continua pero no uniformemente continua.

Se puede observar que  \( f(n +\dfrac{1}{n})-f(n) > 2  \) para todo \(  n \in \mathbb{N}  \)

Y encontrar por que no será uniformemente continua.

También se puede ver con esta función \(  f(x) = \dfrac{1}{x}  \) en \( ]0,1] \)

Lo que dice la demostración es que si es continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua.

Pues    \( f:[1,4]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=x^2 \),    esto es, la restricción de    \( f \)    al intervalo cerrado    \( [1,4] \),

\( f_{|[1,4]} \),    sigue siendo continua en dicho intervalo.


Saludos.

EDITO.

La continuidad uniforme depende en gran medida del    \( \epsilon \)    que fijemos. Con uno lo suficientemente grande ninguna función continua será uniformemente continua. Y con uno lo suficientemente pequeño toda función continua será uniformemente continua ¿No?


Toda función uniformemente continua es continua. La diferencia es que el \( \delta \), no el \( \epsilon \), no depende del punto en la continuidad uniforme y si en la continuidad a secas.

Y el recíproco parcial: toda función continua en un conjunto compacto es uniformemente continua en él.

La función \( f(x) = x^2 \), o cualquier polinomio de grado mayor que uno, es continua en todas partes, pero solo es uniformemente continua en conjuntos acotados. La función \( f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \) es continua en \( (0, 1] \), pero no es uniformemente continua en \( (0, 1] \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)