Autor Tema: Dos demostraciones sobre continuidad.

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20 Septiembre, 2017, 06:50 pm
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Juan Pablo Sancho

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\( f \in C([a,b])  \) entonces acotada.

Spoiler
Supongamos que \( f \) es continua en\( [a,b] \) pero no está acotada (por ejemplo superiormente).

Dado \( A = 1  \) existe un \( x_1 \) con \( f(x_1) > 1  \)

Dado \( A = 2  \) existe un \( x_2 \) con \( f(x_2) > 2  \)

Supongamos que para \( k=n\geq 1 \) tenemos que existe  \( x_n \) con \( f(x_n) > n  \)

Entonces para \(  A = n+1  \) existirá un \( x_{n+1} \) con \( f(x_{n+1}) > n+1  \) si esto no sucediera entonces sería acotada por \( n+1 \) en contra de las hipótesis.

Sea \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) la sucesión así generada, como \(  a\leq x_n\leq b  \) para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces acotada, tiene en consecuencia una sucesión convergente, \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) con \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \eta \in [a,b]  \)

Tomemos entonces \( n_{\eta} = |\lfloor f(\eta) \rfloor| + 2  \):

1.) si \(  n \geq n_{\eta}  \) entonces \( |f(x_{k_n}) - f(\eta)| > |k_n - f(\eta)| \geq |n - f(\eta)| \geq 2  \)

2.) \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \eta  \)

Entonces \( f \) no es continua en \( \eta \)

Entonces \( f  \) acotada en \( [a,b]  \)

[cerrar]

\( f \in C([a,b])  \) entonces abarca el máximo y el mínimo.

Spoiler
Veamos por ejemplo que abarca el máximo.

Hemos probado que la función está acotada, sea \(  M = sup \ \ \{f(x) |  x  \in [a,b]\}  \)

Entonces dado:

\(  \epsilon = 1  \) existe \( x_1  \) con \( M - 1 < f(x_1) \leq M  \)

\(  \epsilon = \dfrac{1}{2}  \) existe \( x_2  \) con \( M - \dfrac{1}{2} < f(x_2) \leq M  \)

Inductivamente se tiene \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) de la cual se puede extraer una subsucesión convergente.

Sea \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty} \) esta subsucesión y \( \theta \) su límite.

Por un lado :

1.) \(  M - f(x_{k_n}) = |M - f(x_{k_n})| < \dfrac{1}{k_n} < \dfrac{1}{n}  \) entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = M  \)

2.)Por ser \( f \) continua tenemos \(  \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n}) = f(\theta)  \)

De uno y dos \( M = f(\theta)  \)
[cerrar]



 

21 Septiembre, 2017, 12:48 am
Respuesta #1

Buscón

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\( f \in C([a,b])  \) entonces acotada.

Spoiler
Supongamos que \( f \) es continua en\( [a,b] \) pero no está acotada (por ejemplo superiormente).

Dado \( A = 1  \) existe un \( x_1 \) con \( f(x_1) > 1  \)

Dado \( A = 2  \) existe un \( x_2 \) con \( f(x_2) > 2  \)

Supongamos que para \( k=n\geq 1 \) tenemos que existe  \( x_n \) con \( f(x_n) > n  \)

Entonces para \(  A = n+1  \) existirá un \( x_{n+1} \) con \( f(x_{n+1}) > n+1  \) si esto no sucediera entonces sería acotada por \( n+1 \) en contra de las hipótesis.

Sea \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) la sucesión así generada, como \(  a\leq x_n\leq b  \) para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces acotada, tiene en consecuencia una sucesión convergente, \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) con \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \eta \in [a,b]  \)

Tomemos entonces \( n_{\eta} = |\lfloor f(\eta) \rfloor| + 2  \):

1.) si \(  n \geq n_{\eta}  \) entonces \( |f(x_{k_n}) - f(\eta)| > |k_n - f(\eta)| \geq |n - f(\eta)| \geq 2  \)

2.) \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \eta  \)

Entonces \( f \) no es continua en \( \eta \)

Entonces \( f  \) acotada en \( [a,b]  \)

[cerrar]

\( f \in C([a,b])  \) entonces abarca el máximo y el mínimo.

Spoiler
Veamos por ejemplo que abarca el máximo.

Hemos probado que la función está acotada, sea \(  M = sup \ \ \{f(x) |  x  \in [a,b]\}  \)

Entonces dado:

\(  \epsilon = 1  \) existe \( x_1  \) con \( M - 1 < f(x_1) \leq M  \)

\(  \epsilon = \dfrac{1}{2}  \) existe \( x_2  \) con \( M - \dfrac{1}{2} < f(x_2) \leq M  \)

Inductivamente se tiene \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) de la cual se puede extraer una subsucesión convergente.

Sea \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty} \) esta subsucesión y \( \theta \) su límite.

Por un lado :

1.) \(  M - f(x_{k_n}) = |M - f(x_{k_n})| < \dfrac{1}{k_n} < \dfrac{1}{n}  \) entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = M  \)

2.)Por ser \( f \) continua tenemos \(  \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n}) = f(\theta)  \)

De uno y dos \( M = f(\theta)  \)
[cerrar]


Hola

¿Que significa    \( C([a,b]) \)?

21 Septiembre, 2017, 01:34 am
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Hola

¿Que significa    \( C([a,b]) \)?

El conjunto de funciones continuas en el intervalo \( [a, b] \).

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

21 Septiembre, 2017, 01:30 pm
Respuesta #3

Buscón

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\( f \in C([a,b])  \) entonces acotada.

Spoiler
Supongamos que \( f \) es continua en\( [a,b] \) pero no está acotada (por ejemplo superiormente).

Dado \( A = 1  \) existe un \( x_1 \) con \( f(x_1) > 1  \)

Dado \( A = 2  \) existe un \( x_2 \) con \( f(x_2) > 2  \)

Supongamos que para \( k=n\geq 1 \) tenemos que existe  \( x_n \) con \( f(x_n) > n  \)

Entonces para \(  A = n+1  \) existirá un \( x_{n+1} \) con \( f(x_{n+1}) > n+1  \) si esto no sucediera entonces sería acotada por \( n+1 \) en contra de las hipótesis.

Sea \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) la sucesión así generada, como \(  a\leq x_n\leq b  \) para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces acotada, tiene en consecuencia una sucesión convergente, \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) con \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \eta \in [a,b]  \)

Tomemos entonces \( n_{\eta} = |\lfloor f(\eta) \rfloor| + 2  \):

1.) si \(  n \geq n_{\eta}  \) entonces \( |f(x_{k_n}) - f(\eta)| > |k_n - f(\eta)| \geq |n - f(\eta)| \geq 2  \)

2.) \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \eta  \)

Entonces \( f \) no es continua en \( \eta \)

Entonces \( f  \) acotada en \( [a,b]  \)

[cerrar]

Si, claro. Al estar definida en    \( a \)    y    en    \( b \)    y tomar todos los valores comprendidos entre    \( f(a) \)    y    \( (b) \)   no

puede perderse ni superiormente ni inferiormente.  Sale de    \( f(a) \)    y haga lo que haga, llega a    \( f(b) \)    tiene que

tener cotas, superior e inferior si quiere ser continua.

Si no tuviese cotas, en algún punto se perdería en el infinito y para retomar su camino hacia    \( f(b) \)    debería dar un

salto y dejar de ser continua en contra de la hipótesis.

Si pierde una cota pierde la continuidad.

Pero...

Dado \( A = 1  \) existe un \( x_1 \) con \( f(x_1) > 1  \)

Dado \( A = 2  \) existe un \( x_2 \) con \( f(x_2) > 2  \)

esto no lo veo, que    \( f \)    sea continua en    \( [a,b] \)    no implica que exista    \( x_1\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x_1)>1 \).

¿Y que es A?


\( f \in C([a,b])  \) entonces abarca el máximo y el mínimo.

Spoiler
Veamos por ejemplo que abarca el máximo.

Hemos probado que la función está acotada, sea \(  M = sup \ \ \{f(x) |  x  \in [a,b]\}  \)

Entonces dado:

\(  \epsilon = 1  \) existe \( x_1  \) con \( M - 1 < f(x_1) \leq M  \)

\(  \epsilon = \dfrac{1}{2}  \) existe \( x_2  \) con \( M - \dfrac{1}{2} < f(x_2) \leq M  \)

Inductivamente se tiene \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) de la cual se puede extraer una subsucesión convergente.

Sea \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty} \) esta subsucesión y \( \theta \) su límite.

Por un lado :

1.) \(  M - f(x_{k_n}) = |M - f(x_{k_n})| < \dfrac{1}{k_n} < \dfrac{1}{n}  \) entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = M  \)

2.)Por ser \( f \) continua tenemos \(  \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_{k_n}) = f(\lim_{n \to +\infty} x_{k_n}) = f(\theta)  \)

De uno y dos \( M = f(\theta)  \)
[cerrar]


Esto es aún más evidente. Si toma "todos" los valores entre    \( f(a) \)    y    \( f(b) \)    también toma el valor máximo y el

valor mínimo.

Ojo, que se comenta que "en matemáticas, la evidencia es enemiga de la correccción"! Bertrand Russell. Aunque

también podría ser de Juan Pablo.


Saludos y gracias por leer.

21 Septiembre, 2017, 01:59 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Pero...

Dado \( A = 1  \) existe un \( x_1 \) con \( f(x_1) > 1  \)

Dado \( A = 2  \) existe un \( x_2 \) con \( f(x_2) > 2  \)

esto no lo veo, que    \( f \)    sea continua en    \( [a,b] \)    no implica que exista    \( x_1\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x_1)>1 \).

¿Y que es A?

Está razonando por reducción al absurdo suponiendo que no es acotada superiormente; entonces para cualquier número \( A \) existe un\(  x\in [a,b] \) tal que \( f(x)\geq A \).

Usa ese hecho primero para \( A=1 \), luego para \( A=2 \), luego para \( A=3 \), etcétera...

Saludos.

21 Septiembre, 2017, 02:05 pm
Respuesta #5

Buscón

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Hola

Pero...

Dado \( A = 1  \) existe un \( x_1 \) con \( f(x_1) > 1  \)

Dado \( A = 2  \) existe un \( x_2 \) con \( f(x_2) > 2  \)

esto no lo veo, que    \( f \)    sea continua en    \( [a,b] \)    no implica que exista    \( x_1\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x_1)>1 \).

¿Y que es A?

Está razonando por reducción al absurdo suponiendo que no es acotada superiormente; entonces para cualquier número \( A \) existe un\(  x\in [a,b] \) tal que \( f(x)\geq A \).

Usa ese hecho primero para \( A=1 \), luego para \( A=2 \), luego para \( A=3 \), etcétera...

Saludos.

Podría ser decreciente con lo que    \( f(x_2)<f(x_1) \),    o incluso no ser monótona.


Saludos.

EDITO.

Supongo que se refiere a que como ha supuesto que    \( f \)    no es acotada superiormente, para cada     \( x_k \)    siempre

puede encontrar    \( x_j \)    tal que    \( f(x_j)>f(x_k) \),    \( j,k\in{\mathbb{N}} \),    y a partir de ahí construye la sucesión creciente

\( \{X_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    de forma que    \( f(x_1)<f(x_2)<\ldots<f(x_n) \),    independientemente del orden de los elementos

\( x_k\in{[a,b]} \)

21 Septiembre, 2017, 02:59 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Hola

Pero...

Dado \( A = 1  \) existe un \( x_1 \) con \( f(x_1) > 1  \)

Dado \( A = 2  \) existe un \( x_2 \) con \( f(x_2) > 2  \)

esto no lo veo, que    \( f \)    sea continua en    \( [a,b] \)    no implica que exista    \( x_1\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x_1)>1 \).

¿Y que es A?

Está razonando por reducción al absurdo suponiendo que no es acotada superiormente; entonces para cualquier número \( A \) existe un\(  x\in [a,b] \) tal que \( f(x)\geq A \).

Usa ese hecho primero para \( A=1 \), luego para \( A=2 \), luego para \( A=3 \), etcétera...

Saludos.

Podría ser decreciente con lo que    \( f(x_2)<f(x_1) \),    o incluso no ser monótona.


Saludos.

EDITO.

Supongo que se refiere a que como ha supuesto que    \( f \)    no es acotada superiormente, para cada     \( x_k \)    siempre

puede encontrar    \( x_j \)    tal que    \( f(x_j)>f(x_k) \),    \( j,k\in{\mathbb{N}} \),    y a partir de ahí construye la sucesión creciente

\( \{X_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    de forma que    \( f(x_1)<f(x_2)<\ldots<f(x_n) \),    independientemente del orden de los elementos

\( x_k\in{[a,b]} \)


Pero es intrascendente que sea o no monótona. Simplemente basta que cumpla que \( f(x_n)>n \) lo que llega para afirmar que no converge.

Saludos.

22 Septiembre, 2017, 10:42 am
Respuesta #7

Buscón

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Hola

Hola

Pero...

Dado \( A = 1  \) existe un \( x_1 \) con \( f(x_1) > 1  \)

Dado \( A = 2  \) existe un \( x_2 \) con \( f(x_2) > 2  \)

esto no lo veo, que    \( f \)    sea continua en    \( [a,b] \)    no implica que exista    \( x_1\in{[a,b]} \)    tal que    \( f(x_1)>1 \).

¿Y que es A?

Está razonando por reducción al absurdo suponiendo que no es acotada superiormente; entonces para cualquier número \( A \) existe un\(  x\in [a,b] \) tal que \( f(x)\geq A \).

Usa ese hecho primero para \( A=1 \), luego para \( A=2 \), luego para \( A=3 \), etcétera...

Saludos.

Podría ser decreciente con lo que    \( f(x_2)<f(x_1) \),    o incluso no ser monótona.


Saludos.

EDITO.

Supongo que se refiere a que como ha supuesto que    \( f \)    no es acotada superiormente, para cada     \( x_k \)    siempre

puede encontrar    \( x_j \)    tal que    \( f(x_j)>f(x_k) \),    \( j,k\in{\mathbb{N}} \),    y a partir de ahí construye la sucesión creciente

\( \{X_n\}_{n=1}^{+\infty} \)    de forma que    \( f(x_1)<f(x_2)<\ldots<f(x_n) \),    independientemente del orden de los elementos

\( x_k\in{[a,b]} \)


Pero es intrascendente que sea o no monótona. Simplemente basta que cumpla que \( f(x_n)>n \) lo que llega para afirmar que no converge.

Saludos.

Si claro, para que    \( f \)    no sea acotada se necesita que exista     \( x_k\in{[a,b]} \)   tal que    \( f(x\color{red}_j\color{black})>M \)    para cualquier

\( M>0 \)    si    \( \cancel{x\geq{x_k}} \)    \( j>k \),    \( j,k\in{\mathbb{N}} \).   


Pero esta existencia de    \( x_k \)    está limitada por el límite, valga la redundancia, de la sucesión convergente de los \( x_k \)

que se necesita para los distintos    \( M \)    que se van fijando.

Que esa sucesión tiene límite esta fundamentado en el

Teorema. (Bolzano-Weirstrass)

"toda sucesión de números reales acotada tiene alguna subsucesión convergente".


Aunque viéndolo ahora con más claridad después de la demostración de Juan Pablo. El que    \( x_k\in{[a,b]} \)    ya no

deja elegir cualquier    \( x_k \),    éstos han de verificar


\( a\leq{}x_k\leq{}b \)


que es el intervalo donde se quiere probar que la función está acotada.

Hay que observar que si una función es continua en    \( [a,b] \)    es obvio que también lo es en    \( (a,b) \), entonces, como,

Teorema.

"Cualquier extensión de una función continua en un intervalo abierto es también continua en dicho intervalo abierto,"


si se extiende la función a un intervalo abierto,    \( (-\infty,+\infty) \),    esto es, todo    \( \mathbb{R} \),    seguirá siendo continua en él,

pero en este caso no estará acotada.   

Conclusión, (a ver si es cierta):

Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces está acotada.

Si una función es continua en un intervalo abierto, puede no estar acotada.


Siento entrometerme en tu demostración Juan Pablo, pero es que se le ve sustancia.

Un saludo y gracias por compartirla.


CORREGIDO.

22 Septiembre, 2017, 11:38 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Un comentario general porque creo que no tienes claro esto. Cuando el enunciado dice que partimos \( f \in C([a,b]) \) se entiende que es una función definida sólo en \( [a,b] \); en ese contexto no tiene sentido plantearse nada sobre esa función fuera de ese intervalo. Esto no quiere decir que uno no pudiese definir otra función más general en todo \( \mathbb{R} \) que restringida a \( [a,b] \) coincidiese con \( f, \) pero eso es indiferente para lo que aquí se discute.

Entonces cuando se habla de si \( f \) es o no acotada se refiere a si es o no acotada en \( [a,b] \).

Si claro, para que    \( f \)    no sea acotada se necesita que exista     \( x_k\in{[a,b]} \)   tal que    \( f(x)>M \)    para cualquier

\( M>0 \)    si    \( x\geq{x_k} \).   

No, esto no está bien escrito. Simplemente que no sea acotada superiormente significa que para cualquier \( M>0 \) existe \( x\in [a,b] \) tal que \( f(x)>M \), pero no hay porque exigir que \( f(x')>M \) para cualquier \( x' \)  mayor que \( x \).

Citar
Pero esta existencia de    \( x_k \)    está limitada por el límite, valga la redundancia, de la sucesión convergente de los \( x_k \)

que se necesita para los distintos    \( M \)    que se van fijando.

No entiendo esta frase.

Citar
Que esa sucesión tiene límite esta fundamentado en el

Teorema. (Bolzano-Weirstrass)

"toda sucesión de números reales acotada tiene alguna subsucesión convergente".


Correcto. En concreto que podemos extraer de ella una subsucesión convergente que sin pérdida de generalidad uno puede tomar como toda la sucesión.

Citar
Aunque viéndolo ahora con más claridad después de la demostración de Juan Pablo. El que    \( x_k\in{[a,b]} \)    ya no

deja elegir cualquier    \( x_k \),    éstos han de verificar


\( a\leq{}x_k\leq{}b \)

Como te he dicho estamos trabajando con la función en \( [a,b] \). No tiene sentido plantearse nada fuera de ahí.

Citar
Hay que observar que si una función es continua en    \( [a,b] \)    es obvio que también lo es en    \( (a,b) \), entonces, como,

Cierto.

Citar
Teorema.

"Cualquier extensión de una función continua en un intervalo abierto es también continua en dicho intervalo abierto,"


Aquí no sé si es una errata; lo que es cierto es que cualquier restricción (no extensión) de una función continua a cualquier subconjunto de su dominio (por ejemplo un intervalo abierto) sigue siendo continua en dicho subconjunto.

Citar
si se extiende la función a un intervalo abierto,    \( (-\infty,+\infty) \),    esto es, todo    \( \mathbb{R} \),    seguirá siendo continua en él,

pero en este caso no estará acotada.
 

Esto no tiene sentido; dependerá de como se extienda. Hay infinitas forma de extender la función.  Yo puedo tomar la función \( f(x)=1 \) en \( [0,1] \) y extenderla fuera del \( [0,1] \) como \( f(x)=0 \).

Citar
Conclusión, (a ver si es cierta):

Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces está acotada.

Correcto.

Citar
Si una función es continua en un intervalo abierto, puede no estar acotada.

Correcto. Por ejemplo \( f(x)=1/x \) en \( (0,1) \).

Saludos.

22 Septiembre, 2017, 11:39 am
Respuesta #9

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Sea \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty}  \) la sucesión así generada, como \(  a\leq x_n\leq b  \) para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces acotada, tiene en consecuencia una sucesión convergente, \( \{x_{k_n}\}_{n=1}^{+\infty}  \) con \( \displaystyle\lim_{n \to +\infty} x_{k_n} = \eta \in [a,b]  \)


Yo diría que para que funcione la demostración, la sucesión debería ser    \( a_n=f(x_n) \)   los    \( x_n \)    son infinitos, y los

\( f(x_n) \),   (que en definitiva es la sucesión que interesa),    por hipótesis no está acotada.

Es por intentar tirarte la demostración.


>:D

P.D. La que has puesto    \( \displaystyle\frac{1}{x-1}\cdot{\sen\left(\displaystyle\frac{1}{x-1}\right)} \)




Yo diría que es continua en    \( [0,1] \)    pero no soy capaz de decir cual es su cota superior.