Autor Tema: Irracionalidad de \(\sqrt{21}\)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

09 Septiembre, 2017, 07:27 pm
Leído 907 veces

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,227
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Pongo esto que he visto por ahí (aunque en ese libro era la irracionalidad de \( \sqrt{3} \)) :

Prueba de la irracionalidad de \( \sqrt{21} \)

Supongamos que \( \sqrt{21} \in \mathbb{Q} \) entonces existen \( m_0,n_0 \in \mathbb{N} \)

verificando:

\( \sqrt{21} = \dfrac{m_0}{n_0} \) como \( 4^2 < 21 < 5^2 \) tenemos:

\( 4 < \dfrac{m_0}{n_0} < 5  \) entonces \( 4 \cdot n_0 < m_0 < 5 \cdot n_0 \)

restando \(  4 \cdot n_0  \) queda:\( 0 < m_0 - 4 \cdot n_0 < n_0 \)

Sea ahora la siguiente igualdad:

\( \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{21}-4} =\dfrac{\sqrt{21}+4}{5} \)

\( \displaystyle \dfrac{1}{\dfrac{m_0}{n_0}-4} =\dfrac{\sqrt{21}+4}{5} \)

\( \displaystyle \dfrac{5 \cdot n_0}{ m_0 - 4 \cdot n_0} = \sqrt{21}+4 \)

\( \displaystyle \dfrac{5 \cdot n_0}{ m_0 - 4 \cdot n_0} -4 = \sqrt{21} \)

\( \displaystyle \dfrac{5 \cdot n_0 - 4 \cdot m_0 + 16 \cdot n_0}{ m_0 - 4 \cdot n_0}   = \sqrt{21} \)

\( \displaystyle \dfrac{21 \cdot n_0 - 4 \cdot m_0 }{ m_0 - 4 \cdot n_0}   = \sqrt{21} \)

Por ser \( m_0 - 4 \cdot n_0>0  \) y \( \sqrt{21}> 0 \) lo es \( 21 \cdot n_0 - 4 \cdot m_0 > 0 \) por si no se quiere hacer las cuentas.

Definamos ahora \( m_1 = 21 \cdot n_0 - 4 \cdot m_0 \) y \( n_1 = m_0 - 4 \cdot n_0 < n_0 \)

Si hacemos las cuentas vuelve a pasar lo mismo, entonces por inducción podemos construir la sucesión \( \{n_p\}_{p=\color{red}0\color{black}}^{+\infty} \) de naturales estrictamente decreciente, hemos encontrado un subconjunto de los naturales no vacío que no cumple el principio del buen orden.