[Michel]

Construir un pentágono conociendo la posición de los puntos medios de los lados.

[sugata]

Tuve que desinstalar Geogebra del móvil, así que no podré poner el dibujo.
Así de primeras he pensado.

Spoiler

Construimos la circunferencia que pasa por dichos puntos, será la circunferencia inscrita.
Luego sólo sería trazar las tangentes por los mismos puntos dados.

[cerrar]

[Michel]

Hola sugata.

El problema no dice que se trate de un pentágono regular.

Saludos.

[sugata]

Pues tienes razón.
Seguiré pensando en ello y a ver si me descargo de nuevo el Geogebra o alguna aplicación para dibujar.

[Ignacio Larrosa]

Utilizando los vectores de posición de los puntos, es muy fácil establecer, para n puntos, un sistema lineal de n ecuaciones con n incognitas muy, peor que muy sencillo, que permite ver que si n es impar siempre hay solución y es única, y obtenerla, y si n es par, que en general no hay solución, dependiendo de la posición de los datos, y si la hay son infinitas.

Pero no se me ocurre la forma de hacerlo sintéticamente ...  Estoy un poco espeso ... Quizá considerando primero solo tres puntos, que es fácil, y luego añadiendo los otros dos ...

Saludos,

[Abdulai]

Una forma,  aunque la manera en que la presento no me gusta para nada es:

- Dados los puntos \( A,B,C,D \) y \( E \) trazo los vectores \( \vec{AB} \) y \( \vec{CD} \)

- El punto  \( V_5 = E+\vec{AB}+\vec{CD} \)  será uno de los vértices del pentágono.

- Conociendo un vértice, dado que los otros puntos son puntos medios del lado, se construye secuencialmente.  Es decir, con \( V_5 \) y \( D \)  hallo el vértice \( V_4 \) y así sucesivamente.



El problema está en la justificación del primer vértice, pues ese procedimiento no es mas que la solución del sistema de ecuaciones que comentaba ilarrosa.

[Michel]

Este problema  lo vi hace mucho tiempo y me volvió loco, porque no sabía cómo empezar, lo que es muy frecuente, hasta me dió una pista; esta pista es la que os envío, en lugar de la solución completa.

Creo que disfrutaréis más resolviéndolo vosotros.

Suponer que ABCDE es el pentágono pedido, del que conocemos sólo los puntos medios M, N, P, Q, R.

Se traza el segmento AD, formándose el cuadrilátero ABCD, del que conocemos los puntos medios M. N, P de tres lados; se determina el punto medio S del lado AD y se obtiene el paralelogramo MNPS.

Seguid.

Jamás se me ocurrió esa idea.

¿Qué os parece?

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Este problema  lo vi hace mucho tiempo y me volvió loco, porque no sabía cómo empezar, lo que es muy frecuente, hasta me dió una pista; esta pista es la que os envío, en lugar de la solución completa.

Creo que disfrutaréis más resolviéndolo vosotros.

Suponer que ABCDE es el pentágono pedido, del que conocemos sólo los puntos medios M, N, P, Q, R.

Se traza el segmento AD, formándose el cuadrilátero ABCD, del que conocemos los puntos medios M. N, P de tres lados; se determina el punto medio S del lado AD y se obtiene el paralelogramo MNPS.

Seguid.

Jamás se me ocurrió esa idea.

¿Qué os parece?

Saludos

¡Justo! Yo creo que lo había visto alguna vez, en es.ciencia.matemáticas o en la lista Snark, pero no conseguía recordar la solución. Así se puede resolver para un número impar cualquiera de puntos medios:

Spoiler

Se empieza con tres puntos medios consecutivos y se determina el cuarto que forma con ellos un paralelogramo. Se repite la construcción con este y los dos puntos medios siguientes, uno de cada lado, y se sigue hasta agotar los puntos medios. El último punto determinado es un vértice del n-gono, con n impar, buscado. A partir de él, por simetrías centrales en los sucesivos vértices, se determinan los demás.

Se obtiene así además la forma de solución que da el sistema de ecuaciones. Sean A, B, C, D y E los cinco puntos medios y J el punto del pentágono buscado opuesto al punto medio B.

\( \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{ BB'} \)

de manera que B' completa un paralelogramo con A, B y C.

\( \overrightarrow{B'J} = \overrightarrow{B'D} + \overrightarrow{B'E} \Rightarrow{} \overrightarrow{BJ }= \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'D} + \overrightarrow{B'E}
= \overrightarrow{BB'} \left( \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BB'} \right)+ \left( \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{BB'} \right) = \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BB'} =\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}  \)

Si tomamos como origen un punto cualquiera O y llamamos con letras minúsculas a los vectores de posición de cada punto, nos queda:

\( \vec{j} = \vec{d} + \vec{e} - \vec{a} - \vec{c} + \vec{b} \)

Lo que GeoGebra nos permite hacer poniendo simplemente: \( J = D + E - A - C + B \).

Si se tiene un numero mayor, siempre imapar, de puntos medios, hay que reiterar el proceso.

Gráficamente para 7 vértices:

[cerrar]

Para un número par de puntos medios, no vale. El problema entonces o no tiene solución, que será lo normal si los puntos medios están elegidos al azar, o bien es indeterminado.

Me encantó Michel , si señor  ..

[Michel]

De acuerdo, sólo vale para un núnero impar de lados.

Adjunto el que hice para el pentágono, que al lado del que envía ilarrosa, es una...

Saludos.