Autor Tema: El ángulo opuesto

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06 Marzo, 2017, 09:39 am
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Michel

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Construir un triángulo conociendo un lado, el ángulo opuesto y un punto por donde pasa la bisectriz de ese ángulo.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

06 Marzo, 2017, 11:28 pm
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola Michel.

 En este problema nuevamente me entra la duda que planteé en este otro mensaje, no se si lo que se sabe es únicamente la longitud del lado del triángulo o si se conoce realmente al lado del triángulo (su posición como segmento del plano). Dado que en este problema se conoce también la posición de un punto del plano (que pasa por la bisectriz que señala el problema) y para que la solución no sea trivial (y con una infinidad de posibles respuestas y una construcción simple), esta vez asumiré que se conoce la posición en el plano del lado del triángulo que se menciona en el enunciado.

 Bajo este supuesto anoto mi solución en el siguiente spoiler

Spoiler
La construcción que podemos seguir es la de la siguiente animación que describo en seguida, donde suponemos que el segmento conocido es \( \overline{AB} \) y el punto que pasa por la bisectriz es \( C. \)


\( \bullet \) En el primer paso construimos una circunferencia de modo que la medida del arco \( AB \) sea el doble de la medida del ángulo que conocemos. Notar que hay dos circunferencias que cumplen esta propiedad (ver paso 6).

\( \bullet \) En el segundo paso ubicamos el punto medio \( D \) del arco \( AB \) (el mismo arco que consideramos en el paso anterior).

\( \bullet \) En el paso 3 trazamos la recta que pasa por \( D \) y \( C. \) Si \( D=C \) cualquier recta que corte a la circunferencia en dos puntos funciona, en este caso hay infinitos triángulos satisfaciendo las condiciones del problema. Llamaremos \( E \) al segundo punto de corte de la recta con la circunferencia (e primer punto de corte es \( D \)).

\( \bullet \) Finalmente, el triángulo \( ABE \) obtenido, que se muestra en el paso 5, cumple lo requerido.

\( \bullet \) En el paso 6 se muestra la construcción considerando la otra circunferencia (que mencionamos en el primer paso) y el triángulo \( ABF \) que se obtiene se muestra en el paso 7.

\( \star \) Resumiendo, a menos que \( C=D \) o \( C=D' \) (en cuyo caso hay infinitas soluciones) concluimos que genéricamente hay dos triángulos que satisfacen lo descrito en el problema, el triángulo \( ABE \) (mostrado en el paso 5) y el triángulo \( ABF \) mostrado en el paso 7.
[cerrar]

Saludos,

Enrique.

07 Marzo, 2017, 10:33 am
Respuesta #2

Michel

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Hola enrique.

Yo creo que cuando se dice conocido un lado, se refiere a su longitud, independientemente de su posición en el plano.

Quizá sea un abuso de lenguaje.

Cuando decimos construir un triángulo conocidos los tres lados, quizá deberíamos decir construir un triángulo conocidas las longitudes de los tres lados.

Pienso que es la diferencia entre la Geometría Sintética y la Analítica, donde se empieza por establecer un sistema de referencia, ya que es fundamental la posición.

No sé si estoy en lo cierto o estoy equivocado.

Opinemos.

Saludos


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L. Kronecker

07 Marzo, 2017, 11:30 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Yo creo que cuando se dice conocido un lado, se refiere a su longitud, independientemente de su posición en el plano.

Yo lo veo igual.

Construir un triángulo conociendo un lado, el ángulo opuesto y un punto por donde pasa la bisectriz de ese ángulo.

En el caso de ese enunciado, yo entendí Michel, que el punto al que te refieres está sobre el lado conocido.

Spoiler
Si es así, si el lado conocido es el segmento \( AB \), el punto de corte con la bisectriz es \( P \) y el ángulo opuesto es \( \alpha \), basta intersecar el arco capaz de ángulo \( \alpha \) del segmento \( AB \) con el arco capaz de ángulo \( \alpha/2 \) del segmento \( AP \).
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Saludos.

07 Marzo, 2017, 11:56 am
Respuesta #4

Ignacio Larrosa

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Yo entiendo que en estos problemas lo conocido es solo la magnitud de los elementos, la posición en principio es arbitraria, salvo en lo que estén relacionados entre ellos. Yo aquí entendí que el punto y el segmento pueden estar situados en cualquier parte. Esto lleva a que en ocasiones, ¿cuáles?, exista solo una solución o ninguna, a menos que se den por válido que sean las bisectrices exteriores las que pasen por el punto.

Spoiler



En general hay dos soluciones. Dependiendo de la posición del punto, puede ser la bisectriz exterior la que pase por él.

[cerrar]

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
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07 Marzo, 2017, 05:15 pm
Respuesta #5

Michel

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Hola a todos.

Da un regusto especial que haya tantos clientes.

Envío mi solución y, como siempre, empiezo con mi sempiterno estribillo: SEPR.

Sea ABC el triángulo pedido, del que conocemos la longitud del lado BC, el ángulo opuesto A y el punto P por el que pasa la bisectriz.

Como el ángulo dado BAC es inscrito, su bisectriz interior pasa por el punto medio D del arco del arco BC que abarca.

Entonces la construcción pedida sigue estos pasos:

1. Arco capaz del ángulo dado sobre el segmento BC, construcción ya conocida (ver CONSTRUCCIONES BÁSICAS).

2. La recta DP corta a la circunferencia en el punto A, tercer vértice del triángulo pedido.

Hay dos soluciones, porque hay dos arcos capaces, que son simétricos respecto de BC.

Creo que si el punto P dado está en el lado BC, sirve la misma construcción, pues sería un caso particular.

Corregidme si estoy errado (sin hache).


Saludos.

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L. Kronecker

08 Marzo, 2017, 01:28 am
Respuesta #6

EnRlquE

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Hola.

 Bien, creo que ya entendí. Lo que se debe entender de enunciados así es que se conoce únicamente la longitud de los segmentos. Me parece que las soluciones de Michel y de ilarrosa son la misma que la mía (claro que como ya se me ha hecho costumbre yo no cuento por qué la construcción funciona, mientras que Michel sí  :D).

 Me gustaría observar que en esta construcción se empieza dibujando el segmento de longitud conocida (además del punto que se conoce) y a partir de ahí se construye el o los triángulos que cumplen los requisitos del problema; sin embargo, si la posición del segmento no importa, podemos hacer la siguiente construcción, que desde mi punto de vista más simple y natural (fue lo primero que se me ocurrió y creo que, en parte, fue la causa de que escribiera la duda de mi primer mensaje). Para esto vamos a suponer que la medida del ángulo conocido es \( \alpha \) y que la distancia conocida es \( d \)

\( \bullet \) Primero trazamos cualquier recta que pase por el punto conocido (que ahora llamaré \( P \)).

\( \bullet \) Luego en cualquier punto \( Q\neq P \) de esa recta dibujamos el ángulo \( MQN \) de modo que \( m\angle MQP=m\angle NQP=\alpha/2. \)

\( \bullet \) A continuación, con centro en cualquier punto \( R \) del rayo \( QN \) que esté a una distancia menor que \( d \) de \( Q \) trazamos una circunferencia de radio \( d. \)

\( \bullet \) Finalmente llamamos \( S \) al punto (diferente de \( Q \)) de intersección de la circunferencia con el rayo \( QM \) y de esta forma obtenemos el triángulo \( QRS \) que cumple las condiciones del problema.


\( \star \) Dada la libertad que tenemos en cada paso de la construcción queda claro que hay una infinidad de soluciones. Naturalmente son las mismas soluciones que con la anterior construcción si contamos las posibilidades que tenemos al dibujar el segmento de longitud conocida, en el primer paso. Sólo que luego de ese primer paso se restringen bastante las posibles respuestas y en consecuencia se dificulta un poco la construcción.

Saludos,

Enrique.

08 Marzo, 2017, 02:35 am
Respuesta #7

Ignacio Larrosa

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Yo, como ya puntualice antes:

Yo entiendo que en estos problemas lo conocido es solo la magnitud de los elementos, la posición en principio es arbitraria, salvo en lo que estén relacionados entre ellos.

pienso que la posición de los elementos son arbitrarias, pero no las posiciones relativas entre ellos. Tal y como tu lo haces, desaparece la restricción de que la bisectriz deba pasar por un punto.

Saludos,
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08 Marzo, 2017, 10:55 pm
Respuesta #8

EnRlquE

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Hola ilarrosa.

Yo, como ya puntualice antes:

Yo entiendo que en estos problemas lo conocido es solo la magnitud de los elementos, la posición en principio es arbitraria, salvo en lo que estén relacionados entre ellos.

pienso que la posición de los elementos son arbitrarias, pero no las posiciones relativas entre ellos. Tal y como tu lo haces, desaparece la restricción de que la bisectriz deba pasar por un punto.

 Bueno, era justo a lo que me refería al inicio, si había que suponer que la posición del segmento respecto del punto conocido estaba fija (de forma arbitraria, pero fija) desde el inicio. Cuando leí lo que citas no pude deducir lo que ahora me queda claro que quisiste decir  :D.

 En fin, entiendo también el uso del abuso del lenguaje al que se refiere Michel en su respuesta de más arriba. Habré de guiarme por una especie de sentido común al ver enunciados así en todo caso  ;).

Saludos,

Enrique.

P.S. Por cierto (y por si acaso), en este problema me resulta bastante claro que el enunciado se refiere a la solución que indiqué al inicio (me parece más interesante) y no al caso que presenté en mi última respuesta, donde todo se trivializa al extremo y prácticamente se pierde el sentido del problema. Planteé mi duda del inicio, con el pretexto del problema, sólo para saber si había alguna convención estándar en enunciados similares que me pueda ahorrar algunos minutos a la hora de interpretarlos.