Autor Tema: Ejercicio de sumatorio

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

14 Enero, 2016, 06:33 am
Leído 365 veces

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,227
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sacado del Spivak un ejercicio que me ha gustado (El enunciado dice):

Si \( \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n  \) converge, entonces las sumas parciales \( s_n \) son acotadas y \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 0  \).

Se está tentado a conjeturar que la acotación de las sumas parciales , junto con la condición \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 0  \), implica la convergencia de \(  \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_n  \).

Esto no es verdad.

Mi contraejemplo:

Spoiler

\(  a_1 = 1  \)

\(  a_2 = a_3 = \dfrac{-1}{2}  \)

\(  a_4 = a_5 = a_6 = a_7 = \dfrac{1}{4}  \)

...................

Esta sucesión así definida tiene límite cero y sus sumas parciales acotadas por uno y no es convergente.

Para \(  n \in [2^p,2^{p+1}-1]  \) se tiene \(  a_n = \dfrac{(-1)^p}{2^p}  \) donde \(  p \in \mathbb{N} \cup \{0\}  \)

[cerrar]