[mathaus]

Buenas tardes, espero que me puedan ayudar con el siguiente problema el cual consiste en:

Sean las ecuaciones diferenciales:

\( -y''=f(x)y  \)                                         (1)
\( -z''= g(x)z  \)                                        (2)

Siendo f, g funciones continuas definidas sobre \( [a, b] \), tales que:

\( f(x)\geq{g(x)}, \forall{x\in{[a, b]}} \)

Sean \( y_1(x) \) y \( z_1(x) \) soluciones de (1) y (2) en \( [a, b] \) respectivamente. Por otra parte, se asume que, \( z_1(a) = z_1(b) \) y \( z_1(x) \neq 0 \)   \( \forall{x\in{(a, b)}} \).
Sin intentar resolver las ecuaciones, probar que, o bien existe \( x_0 \in{(a, b)} \), tal que, \( y(x_0)=0 \), o bien, \( f(x)=g(x) \wedge y_1(x) = Cz_1(x), \forall{x\in{[a, b]}} \), dónde \( C \) es una constante.

Yo al momento de tratar de resolver este problema se me ocurrió utilizar el método del Wronskiano, pero no sé me ocurre como abordar este problema.

Cualquier ayuda lo agradezco de antemano.
Saludos.

[mathaus]

Añadido

Hola,

Lo que he intentado hasta ahora fue lo siguiente:

Primero calculé el Wronskiano de \( y_1(x) \) y \( z_1(x) \) es decir:

\( W[y_1(x), z_1(x)]=det\begin{pmatrix}{y_1(x)}&{z_1(x)}\\{y_1'(x)}&{z_1'(x)}\end{pmatrix}=y_1(x)z_1'(x)-y_1'(x)z_1(x)  \)

Luego si \( y_1(x)\neq 0, \forall{x\in{(a, b)}} \ y \ \not\exists{x_0}\in{(a, b)} / y(x_0)=0 \)

Recordamos que tenemos \( f(x)\geq{g(x)}, \forall{x\in{[a, b]}} \)

Ahora calculé:

\( \frac{d}{dx}W[y_1(x), z_1(x)]=y_1(x)z_1''(x)-y_1''(x)z_1(x) \)

\( =y_1(-g(x)z_1)-z_1(-f(x)y_1)=z_1y_1(f(x)-g(x))  \)

Dónde \( f(x)-g(x)\geq{0} \), ya que \( f(x)\geq{g(x)}, \forall{x\in{[a, b]}} \)

Luego por hipótesis \( y(x)>0, \forall{x\in{(a, b)}} \)

Entonces para probar que f(x)=g(x), se me ocurrió demostrar que:

\( W[y_1, z_1](a)-W[y_1, z_1](b)=0 \)

\( =y_1(a)z_1'(a)-z_1(a)y_1'(a)-y_1(b)z_1'(b)+z_1(b)y_1'(b) \)

Del enunciado utilizamos que \( z_1(a)=z_1(b) \), resultando:

\(  y_1(a)z_1'(a)-z_1(a)y_1'(a)-y_1(b)z_1'(a)+z_1(a)y_1'(b)  \)

\( =z_1(a)(y_1'(b)-y_1'(a))-z_1'(a)(y_1(b)-y_1(a)) \)

(Ahora no sé cómo lograr que esto sea igual a 0, no sé si estoy pasando alguna hipótesis por alto)

Y luego de esto deducir que

\( y_1(x)=Cz_1(x), \forall{x\in{[a, b]}} \)

Dónde C es una constante.

Pero no sé cómo poder desarrollar toda esta idea que tengo, igualmente no sé si me expliqué lo suficientemente bien.

Cualquier ayuda lo agradezco de antemano.
Saludos.