Autor Tema: Dudas con variables aleatorias

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21 Junio, 2021, 03:09 am
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Schrodinger

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Buenas, estaba practicando y me he encontrado con ciertas dudas.

La primera es con la varianza de la pregunta c), en la que no entiendo porque se utiliza la fórmula \( E(x^2) - (Ex)^2 \) en vez de hallarla por el sumatorio de \( (x_i-\mu)^2 * P(X=x_i) \)

Citar
3. Dada la función \( P(x)=K(x+3)^3 \), \( x=0,1,2, 3 \)

a) Calcula para qué valor de \( K \) es función de cuantía.
b) Calcula la media, la varianza y la desviación típica de la variable.
c) Calcula la función de distribución.

Y en la 4 no entiendo muy bien como funciona la c), y en el resultado lo que compruebo es que se ha multiplicado la función por \( x \) sin motivo alguno:

Citar
4. el tiempo en horas diario que pasa un adolescente jugando en la videoconsola es una variable aleatoria que tiene por función de densidad \( f(x)=K(x^2-x),\, 1<x<10 \).

a) Determina el valor de \( K \).
b) Calcula la probabilidad de jugar entre dos y tres horas.
c) ¿Cuál es el tiempo esperado de juego?

La solución dada para c) es

\( \displaystyle{
\mu=\int_{-\infty }^{\infty} xf(x)\mathop{}\!d x=\int_{1}^{10}xK(x^2-x)\mathop{}\!d x=K\int_{1}^{10}x(x^2-x)\mathop{}\!d x=\ldots
} \)

Mensaje editado por la moderación. Por favor, la próxima vez transcribe todo a \( \LaTeX \) o al menos lo relevante a las preguntas que se hacen.

21 Junio, 2021, 03:43 am
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas, estaba practicando y me he encontrado con ciertas dudas.

La primera es con la varianza de la pregunta c), en la que no entiendo porque se utiliza la fórmula \( E(x^2) - (Ex)^2 \) en vez de hallarla por el sumatorio de \( (x_i-\mu)^2 * P(X=x_i) \)

Citar
3. Dada la función \( P(x)=K(x+3)^3 \), \( x=0,1,2, 3 \)

a) Calcula para qué valor de \( K \) es función de cuantía.
b) Calcula la media, la varianza y la desviación típica de la variable.
c) Calcula la función de distribución.

Y en la 4 no entiendo muy bien como funciona la c), y en el resultado lo que compruebo es que se ha multiplicado la función por \( x \) sin motivo alguno:

Citar
4. el tiempo en horas diario que pasa un adolescente jugando en la videoconsola es una variable aleatoria que tiene por función de densidad \( f(x)=K(x^2-x),\, 1<x<10 \).

a) Determina el valor de \( K \).
b) Calcula la probabilidad de jugar entre dos y tres horas.
c) ¿Cuál es el tiempo esperado de juego?

La solución dada para c) es

\( \displaystyle{
\mu=\int_{-\infty }^{\infty} xf(x)\mathop{}\!d x=\int_{1}^{10}xK(x^2-x)\mathop{}\!d x=K\int_{1}^{10}x(x^2-x)\mathop{}\!d x=\ldots
} \)

Mensaje editado por la moderación. Por favor, la próxima vez transcribe todo a \( \LaTeX \) o al menos lo relevante a las preguntas que se hacen.

Por favor, la próxima vez transcribe todo lo que puedas a \( \LaTeX \) o al menos lo que es relevante al ejercicio, entiendo que pueda ser pesado pero de otro modo el tema resultará bastante menos legible, especialmente si hay elementos escritos en cursiva.

Sobre el tema en sí: la varianza de una variable aleatoria \( X \) se define como \( \operatorname{Var}[X]:=\operatorname{E}[(X-\operatorname{E}[X])^2] \), que se puede demostrar que es lo mismo que \( \operatorname{E}[X^2]-(\operatorname{E}[X])^2 \), ya que el operador \( \operatorname{E} \) es lineal y por tanto

\( \displaystyle{
\operatorname{E}[(X-\operatorname{E}[X])^2]=\operatorname{E}[X^2+(\operatorname{E}[X])^2-2X\operatorname{E}[X]]=
\operatorname{E}[X^2]+\operatorname{E}[(\operatorname{E}[X])^2]-\operatorname{E}[2X\operatorname{E}[X]]\\
=\operatorname{E}[X^2]+(\operatorname{E}[X])^2 -2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X]
=\operatorname{E}[X^2]-(\operatorname{E}[X])^2
} \)

ya que \( \operatorname{E}[c]=c \) para cualquier constante \( c \) (ahí una constante representa una variable aleatoria cuyo valor es siempre \( c \)). Por tanto puedes utilizar una definición u otra para calcular la varianza.

Para tu segunda pregunta de por qué \( \operatorname{E}[X]=\int_{\mathbb{R}}t f_X(t)\mathop{}\!d t \) para una variable aleatoria \( X \) con función de densidad \( f_X \), pues porque ésa seguramente sea la definición que te han dado de \( \operatorname{E}[X] \) cuando \( X \) tiene función de densidad. Mira en tus apuntes.