Autor Tema: Ejercicio probabilidad

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18 Junio, 2021, 12:23 am
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Schrodinger

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Buenas, he tenido un problema con el apartado C de un ejercicio. Salen las soluciones al lado de cada apartado.


Ejercicio
Un juego consiste en sacar tres bolas de una urna. Hay tres tipos de urna: A, B y C, todas con 10 bolas. La composición de cada tipo de urna es la siguiente:
Urna tipo A: 3 bolas negras y 7 blancas.
Urna tipo B: 2 bolas negras y 8 blancas.
Urna tipo C: 8 bolas negras y 2 blancas.
De todas las urnas disponibles un 20 % es de tipo A, un 30 % es de tipo B y el resto de tipo C. Se ha realizado una extracción de 3 bolas procedentes de una determinada urna, con reposición.
a) Determina la probabilidad de que las 3 sean negras. (0,264)
b) Determina la probabilidad de que las 3 no sean del mismo color.  (0,51)
c) Si las 3 son negras, ¿cuál es la probabilidad de que la urna fuese del tipo C?  (0,97)

El apartado a) y b) entendí que se usa el teorema de probabilidad total y me salío correcto los resultados, pero en el apartado c) entendí que se usa el teorema de bayes y el resultado me dio erroneo.



18 Junio, 2021, 01:31 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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mmm algo anda mal con tu solucionario, o estas poniendo a prueba tus soluciones....


a)

\( P{A}=0.2 \)
\( P{B}=0.3 \)
\( P{C}=0.5 \)

la probabilidad de sacar una negra de una urna tipo A es 3/10 la de sacar tres al ser con reposición convierte a los eventos en independientes y su probabilidad es

\( P_{3N|A}=P_{N|A}^3=0.3^3=0.027 \)

del mismo modo

\( P_{3N|B}=P_{N|B}^3=0.2^3=0.008 \)

\( P_{3N|C}=P_{N|C}^3=0.8^3=0.512 \)

por probabilidad total

\( P(3N)=P_{A}P_{3N|A}+P_{B}P_{3N|B}+P_{C}P_{3N|C} \)

\( P(3N)=0.2\cdot 0.027+0.3\cdot 0.008+0.5\cdot 0.512=0.2638 \)

para B calcula la probabilidad de 2 blancas y una negra o 2 negra y una blanca de todas las formas en que puede venir la mezcla o calcular la probabilidad de que sean todas blancas P(3b) del mismo modo que hice antes y despues haces

\( P_{DC}=1-P(3N)-P(3b) \)

empecemos

\( P_{3b|A}=P_{N|b}^3=0.7^3=0.343 \)

\( P_{3b|B}=P_{N|B}^3=0.8^3=0.512 \)

ten en cuenta que b es blanca y B es urna B

\( P_{3b|C}=P_{N|C}^3=0.2^3=0.008 \)


por probabilidad total

\( P(3b)=P_{A}P_{3b|A}+P_{B}P_{3b|B}+P_{C}P_{3b|C} \)

\( P(3b)=0.2\cdot 0.343+0.3\cdot 0.512+0.5\cdot 0.008=0.2262 \)

entonces

\( P_{DC}=1-P(3N)-P(3b)=1-0.2638-0.2262=0.51 \)

c)

tambien tienes razon que es por el teorema de bayes

me equivoque en tome la urna A  cuando es la C  Gracias Juan Pablo

\( \cancel{P(A|3N)=\dfrac{P(A)P(3N|A)}{P(3N)}} \)

\( \cancel{P(A|3N)=\dfrac{0.2\cdot 0.027}{0.2638}=0.02047} \)

\( P(C|3N)=\dfrac{P(C)P(3N|C)}{P(3N)} \)

\( P(C|3N)=\dfrac{0.5\cdot 0.512}{0.2638}=0.9704 \)


Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

18 Junio, 2021, 02:32 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Para el c) sería:
\( P[C|3N] = \dfrac{P[3N|C] \cdot P[C]}{P[3N]} = \dfrac{(0.8)^3 \cdot 0.5}{0.2638} = \dfrac{0.256}{0.2638} = \dfrac{1280}{1319} = 0.970432 \)

18 Junio, 2021, 03:11 am
Respuesta #3

Schrodinger

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Gracias chicos, ya entendi :)