Autor Tema: Probabilidades condicionadas

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17 Junio, 2021, 12:22 am
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Schrodinger

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Buenas, estaba estudiando para un examen que tengo y la verdad me estoy trabando en este ejercicio.


Ejercicio
 En un sondeo de opinion publica, al contestar a la pregunta: ”¿Fumar es dañino para la
salud?”, cuyas posibles respuestas eran Si, No y NS/NC, se obtienen los siguientes resultados:
– De los 172 que respondieron que Si era perjudicial para la salud, 94 de ellos eran No
fumadores.
5
– 10 personas contestaron NS/NC, y de ellos el 60% eran fumadores.
– La encuesta se hizo a 200 personas, y la mitad eran fumadores.
Sabiendo que una persona era fumadora, obtener la probabilidad de que contestara Si y
tambien la probabilidad de que una persona que respondio Si fuera fumadora

___

Entiendo que me piden (S/F) y (F/S) pero me estoy perdiendo
Mi cerebro ha colisionado cuando ha llegado a pensar que (S|F) puede que valga 172/100 y que (F/S) 74/172
Pero sería demasiado fácil y normalmente hay que utilizar formulas en estos ejercicios.

17 Junio, 2021, 01:14 am
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
Buenas, estaba estudiando para un examen que tengo y la verdad me estoy trabando en este ejercicio.


Ejercicio
 En un sondeo de opinión publica, al contestar a la pregunta: ”¿Fumar es dañino para la
salud?”, cuyas posibles respuestas eran Si, No y NS/NC, se obtienen los siguientes resultados:
– De los 172 que respondieron que Si era perjudicial para la salud, 94 de ellos eran No
fumadores.
5
– 10 personas contestaron NS/NC, y de ellos el 60% eran fumadores.
– La encuesta se hizo a 200 personas, y la mitad eran fumadores.
Sabiendo que una persona era fumadora, obtener la probabilidad de que contestara Si y
también la probabilidad de que una persona que respondió Si fuera fumadora

___

Entiendo que me piden (S/F) y (F/S) pero me estoy perdiendo
Mi cerebro ha colisionado cuando ha llegado a pensar que (S|F) puede que valga 172/100 y que (F/S) 74/172
Pero sería demasiado fácil y normalmente hay que utilizar formulas en estos ejercicios.
No tiene sentido 172/100 como probabilidad , pues es mayor de la unidad.

La forma más sencilla de plantearlo es haciendo un diagrama en árbol con las 3primeras opciones  Respuesta si, No y NS/NC

Dado que se pregunto a 200 personas , 172 respondieron si, 10 contestaron NS/NC y por tanto, contestaron No \( 200-172-10=18 \)

Empieza por Responden Si , Responden NS/NC y Responden No (como primer nivel del árbol) de estas tres ramas sacas de cada una los que respondieron siendo fumadores y no fumadores.


Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

17 Junio, 2021, 01:14 am
Respuesta #2

Masacroso

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Buenas, estaba estudiando para un examen que tengo y la verdad me estoy trabando en este ejercicio.


Ejercicio
 En un sondeo de opinion publica, al contestar a la pregunta: ”¿Fumar es dañino para la
salud?”, cuyas posibles respuestas eran Si, No y NS/NC, se obtienen los siguientes resultados:
– De los 172 que respondieron que Si era perjudicial para la salud, 94 de ellos eran No
fumadores.
5
– 10 personas contestaron NS/NC, y de ellos el 60% eran fumadores.
– La encuesta se hizo a 200 personas, y la mitad eran fumadores.
Sabiendo que una persona era fumadora, obtener la probabilidad de que contestara Si y
tambien la probabilidad de que una persona que respondio Si fuera fumadora

___

Entiendo que me piden (S/F) y (F/S) pero me estoy perdiendo
Mi cerebro ha colisionado cuando ha llegado a pensar que (S|F) puede que valga 172/100 y que (F/S) 74/172
Pero sería demasiado fácil y normalmente hay que utilizar formulas en estos ejercicios.

Sean los conjuntos \( F,\, NF, S,\, N \) y \( NS \) los de personas fumadoras, no fumadoras, que responden sí, que responden no y que responden ns/nc a la pregunta. Te piden calcular \( \Pr [S|F] \) y \( \Pr [F|S] \), y te dicen que

Citar
– De los 172 que respondieron que Si era perjudicial para la salud, 94 de ellos eran No
fumadores.

es decir, que \( \Pr [NF|S]=94/172 \). Luego te dicen que

Citar
– 10 personas contestaron NS/NC, y de ellos el 60% eran fumadores.

es decir, que \( \Pr [F|NS]=60\%=0,6 \). Finalmente tienes que

Citar
– La encuesta se hizo a 200 personas, y la mitad eran fumadores.

es decir, que \( \Pr [F]=0,5 \). A ver si con esto que he escrito puedes resolverlo, sino vuelve a preguntar.

Añadido: se adelantó robinlambada.

17 Junio, 2021, 01:39 am
Respuesta #3

C. Enrique B.

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JA, JA, 01:14 -vs- 01:14

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17 Junio, 2021, 02:20 am
Respuesta #4

Schrodinger

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Mi cerebro ha explotado, entendí que entonces estaba bien que P(F/S) = 76/172 pero no entiendo entonces como es P(S/F). He intentado usar la fórmula que dice que P(S/F) es igual a la intersección de S y F entre F pero me he empezado a liar, ya no entiendo si 76/172 es la intersección entre fumadores y los que han dicho sí o es el condicional P(F/S).

17 Junio, 2021, 02:58 am
Respuesta #5

Masacroso

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Mi cerebro ha explotado, entendí que entonces estaba bien que P(F/S) = 76/172 pero no entiendo entonces como es P(S/F). He intentado usar la fórmula que dice que P(S/F) es igual a la intersección de S y F entre F pero me he empezado a liar, ya no entiendo si 76/172 es la intersección entre fumadores y los que han dicho sí o es el condicional P(F/S).

Como \( NF=F^\complement  \), ya que o bien se es fumador o no se es, entonces tienes que \( \Pr [F|S]=1-\Pr [NF|S]=78/172 \), supongo que la diferencia con tu resultado será un error de cálculo.

Luego tienes que

\( \displaystyle{
\Pr [S|F]=\frac{\Pr [S \cap F]}{\Pr [F]}=\frac{\Pr [F|S]\Pr [S]}{\Pr [F]}\tag1
} \)

Ahora, de los datos del ejercicio, sabemos que \( \operatorname{card}(S)=172 \), además que \( \operatorname{card}(\Omega )=200 \), siendo \( \Omega  \) el espacio de probabilidad donde todo acontece (el conjunto de personas encuestadas en este caso), por tanto de la noción frecuentista de probabilidad tenemos que \( \Pr [S]=172/200 \), por tanto finalmente obtenemos que \( \Pr [S|F]=78/100=78\% \).

17 Junio, 2021, 03:13 am
Respuesta #6

Schrodinger

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gracias... no disponía de esa fórmula, yo ya estaba desquiciado porque no entendía nada.

17 Junio, 2021, 03:28 am
Respuesta #7

Masacroso

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gracias... no disponía de esa fórmula, yo ya estaba desquiciado porque no entendía nada.

¿Te refieres a la identidad \( \Pr [A|B]=1-\Pr [A^\complement |B] \)? Se deduce del hecho de que la función \( A\mapsto \Pr [A|B] \), para algún \( B \) fijo, es una función de probabilidad igual que la función \( A\mapsto \Pr [A] \), y por tanto todas las reglas que funcionan para \( \Pr  \) funcionan también para \( \Pr _B:=\Pr [\,\cdot\, |B] \), con la diferencia que el espacio de probabilidad donde actúa \( \Pr  \) es \( \Omega  \), pero el espacio de probabilidad donde actúa \( \Pr _B \) es \( B \), siendo todos los eventos en \( B \) de la forma \( A\cap B \) para algún evento \( A \) de \( \Omega  \), es decir, escribir \( \Pr _B[A] \) es lo mismo que escribir \( \Pr _B[A \cap B] \), ya que

\( \displaystyle{
\Pr\nolimits _B[A]=\Pr [A|B]=\frac{\Pr [A\cap B]}{\Pr [B]}=\frac{\Pr [(A\cap B)\cap B]}{\Pr [B]}=\Pr [A\cap B|B]=\Pr\nolimits _B[A\cap B]\tag2
} \)

ya que \( (A\cap B)\cap B=A\cap B \).

Añado: de hecho, debido a la identidad en (2), podemos ver \( \Pr _B \) también como una función de probabilidad en \( \Omega  \), diferente de \( \Pr  \), que cumple que \( \Pr _B[B^\complement ]=0 \) y \( \Pr _B[B]=1 \).