Autor Tema: Probabilidad total condicionada a tres sucesos

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16 Junio, 2021, 12:41 am
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Schrodinger

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Buenas, estoy aprendiendo probabilidad y no tengo ni idea de como hacer este ejercicio. Para el apartado a) pensaba que era el teorema de probabilidad total pero me daba 0,46 por lo que entiendo que lo tengo mal.
Sale el resultado correcto al lado de cada apartado pero tengo problemas para entender como se haya ese resultado.
Por favor, intentad explicadmelo de la manera más sencilla imposible, no tengo bachillerato y estoy pasandolo bastante duro con la ingeniería.
Gracias de antemano.

Ejercicio
. El jefe de compras de una empresa se abastece habitualmente a través de tres proveedores, S1, S2 y S3, con
probabilidades 0,2; 0,3 y 0,5 respectivamente.
Cierto día desea comprar dos artículos, A y B. A se encuentra en cada proveedor con probabilidades 0,2; 0,4 y
0,6; mientras que B lo hace con probabilidades 0,6; 0,4 y 0,2. Finalmente puede encontrar ambos en cada uno
de ellos en el 10 %, 20 % y 10 % de los casos respectivamente.
Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que encuentre el artículo A.(0,49)
b) Que no encuentre el B. (0,27)
c) Que encuentre ambos. (0,13)
d) Que encuentre al menos uno. (0,73)
e) Si encontro el artıculo A, que fuese en S1. (0,082)

16 Junio, 2021, 02:29 am
Respuesta #1

C. Enrique B.

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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De momento interpreto el enunciado como:

1) Los abastecimientos se producen UNA SOLA vez cada día, sea con S1, con S2 ó con S3, y SÓLO se abastece de UNO de ellos. Suponemos que el hecho de que las probabilidades sumen 1'00 nos quiere hacer ver que se abastece SIEMPRE de uno de ellos, cada día.

2) En un determinado día, llamado día DD, desea comprar el artículo A y el artículo B.

3) El Artículo-A (Art.A) tiene un 20 por ciento de probabilidad de encontrarse disponible en los almacenes del proveedor S1 (en un día cualquiera). 40 por ciento de encontrarse en los almacenes del proveedor S2, y 60 por ciento en el caso S3.

4) Y el Art.B tiene 60 para S1, 40 para S2 y 20 para S3.

5) Y la última frase (que parece algo ambigua) parece querer decir que la probabilidad de encontrar los dos artículos, a la vez, simultáneamente en el mismo día, es de 10 por ciento en los almacenes S1, 20 por ciento en S2, y 10 por ciento en S3.
____________________


Dicho lo anterior, veo una contradicción (y eso significaría que he interpretado mal el enunciado), ya que la probabilidad de encontrar Art.A en S1, y la probabilidad de encontrar Art.B en S1, darían como resultado una probabilidad FIJA de encontrarlos a ambos a la vez (y ese valor no coincide con las probabilidades que nos indican en la última línea del enunciado, la cual comienza con "Finalmente ..."), SALVO QUE modifique mi explicación de 3) y 4), como sigue:

3 bis) El Artículo-A (Art.A) tiene un 20 por ciento de probabilidad de encontrarse disponible en los almacenes del proveedor S1 (en un día cualquiera), y si Art.A se encuentra en los almacenes, entonces Art.B no está en ellos. Similarmente, 40 por ciento de encontrarse en los almacenes del proveedor S2, y 60 por ciento en el caso S3.

4 bis) Y el Art.B tiene 60 para S1, 40 para S2 y 20 para S3, todos ellos con la misma explicación que en 3 bis).
____________________


¿Partimos desde eso ... o me he liado?
-
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16 Junio, 2021, 02:39 am
Respuesta #2

Schrodinger

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De momento interpreto el enunciado como:

1) Los abastecimientos se producen UNA SOLA vez cada día, sea con S1, con S2 ó con S3, y SÓLO se abastece de UNO de ellos. Suponemos que el hecho de que las probabilidades sumen 1'00 nos quiere hacer ver que se abastece SIEMPRE de uno de ellos, cada día.

2) En un determinado día, llamado día DD, desea comprar el artículo A y el artículo B.

3) El Artículo-A (Art.A) tiene un 20 por ciento de probabilidad de encontrarse disponible en los almacenes del proveedor S1 (en un día cualquiera). 40 por ciento de encontrarse en los almacenes del proveedor S2, y 60 por ciento en el caso S3.

4) Y el Art.B tiene 60 para S1, 40 para S2 y 20 para S3.

5) Y la última frase (que parece algo ambigua) parece querer decir que la probabilidad de encontrar los dos artículos, a la vez, simultáneamente en el mismo día, es de 10 por ciento en los almacenes S1, 20 por ciento en S2, y 10 por ciento en S3.
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Dicho lo anterior, veo una contradicción (y eso significaría que he interpretado mal el enunciado), ya que la probabilidad de encontrar Art.A en S1, y la probabilidad de encontrar Art.B en S1, darían como resultado una probabilidad FIJA de encontrarlos a ambos a la vez, SALVO QUE modifique mi explicación de 3) y 4), como sigue:

3 bis) El Artículo-A (Art.A) tiene un 20 por ciento de probabilidad de encontrarse disponible en los almacenes del proveedor S1 (en un día cualquiera), y si Art.A se encuentra en los almacenes, entonces Art.B no está en ellos. Similarmente, 40 por ciento de encontrarse en los almacenes del proveedor S2, y 60 por ciento en el caso S3.

4 bis) Y el Art.B tiene 60 para S1, 40 para S2 y 20 para S3, todos ellos con la misma explicación que en 3 bis).
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¿Partimos desde eso ... o me he liado?
-

El ejercicio lo ha escrito un profesor que no es nativo de España y se nota bastante.
La verdad es que me lio muchísimo con esto, no te puedo asegurar realmente que es lo correcto porque estoy muy perdido. Yo entendí que cada día la empresa se abastece de uno de los 3 proveedores según una probabilidad, y que para cada proveedor hay una probabilidad de que se encuentre el objeto tanto para el objeto A, como para el objeto B como para A y B juntos. Igualmente como dije al lado de cada apartado sale la respuesta correcta que debería dar.

Lo siento por no poder guiarte más, a mi tampoco me han dicho nada más y realmente se me da mal esto.

16 Junio, 2021, 02:44 am
Respuesta #3

Masacroso

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Buenas, estoy aprendiendo probabilidad y no tengo ni idea de como hacer este ejercicio. Para el apartado a) pensaba que era el teorema de probabilidad total pero me daba 0,46 por lo que entiendo que lo tengo mal.
Sale el resultado correcto al lado de cada apartado pero tengo problemas para entender como se haya ese resultado.
Por favor, intentad explicadmelo de la manera más sencilla imposible, no tengo bachillerato y estoy pasandolo bastante duro con la ingeniería.
Gracias de antemano.

Ejercicio
. El jefe de compras de una empresa se abastece habitualmente a través de tres proveedores, S1, S2 y S3, con
probabilidades 0,2; 0,3 y 0,5 respectivamente.
Cierto día desea comprar dos artículos, A y B. A se encuentra en cada proveedor con probabilidades 0,2; 0,4 y
0,6; mientras que B lo hace con probabilidades 0,6; 0,4 y 0,2. Finalmente puede encontrar ambos en cada uno
de ellos en el 10 %, 20 % y 10 % de los casos respectivamente.
Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que encuentre el artículo A.(0,49)
b) Que no encuentre el B. (0,27)
c) Que encuentre ambos. (0,13)
d) Que encuentre al menos uno. (0,73)
e) Si encontro el artıculo A, que fuese en S1. (0,082)

Vale, puedes pensar que \( A,\,B,\,S1,\, S2 \) y \( S3 \) son subconjuntos de un espacio de probabilidad \( \Omega  \) desconocido, entonces la información que te dan es

\( \displaystyle{
\Pr [S1]=0,2,\quad \Pr [S2]=0,3,\quad \Pr [S3]=0,5\\
\Pr [A|S1]=0,2,\quad \Pr [A|S2]=0,4,\quad \Pr [A|S3]=0,6\\
\Pr [B|S1]=0,6,\quad \Pr [B|S2]=0,4,\quad \Pr [B|S3]=0,2\\
\Pr [A\cap B|S1]=10\%=0,1,\quad \Pr [A\cap B|S2]=20\%=0,2,\quad \Pr [A\cap B|S3]=10\%=0,1
} \)

Entonces, por ejemplo, en a) te piden \( \Pr [A] \). Es natural asumir que \( S1,\, S2 \) y \( S3 \) son disjuntos (ya que son proveedores diferentes, es decir, cada artículo pertenece a un solo proveedor), y además tenemos que \( \Pr [S1]+\Pr [S2]+\Pr [S3]=1 \), por lo que podemos asumir que los conjuntos \( S \) definen una partición de \( \Omega  \), entonces usando ese dato y la ley de probabilidad total tenemos que

\( \displaystyle{
\Pr [A]=\Pr [A|S1]\Pr [S1]+\Pr [A|S2]\Pr [S2]+\Pr [A|S3]\Pr [S3]=0,04+0,12+0,3=0,46
} \)

que difiere del resultado dado. De manera similar en b) te piden calcular \( \Pr [B^\complement ]=1-\Pr [B] \), en c) calcular \( \Pr [A\cap B] \), en d) calcular \( \Pr [A\cup B]=\Pr [A]+\Pr [B]-\Pr [A\cap B] \), y en e) \( \Pr [S1|A]=\Pr [A|S1]\Pr [S1]/\Pr [A] \). Con el ejercicio ya interpretado y el ejemplo de arriba espero que ya puedes resolver el ejercicio.

16 Junio, 2021, 02:48 am
Respuesta #4

Schrodinger

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Buenas, estoy aprendiendo probabilidad y no tengo ni idea de como hacer este ejercicio. Para el apartado a) pensaba que era el teorema de probabilidad total pero me daba 0,46 por lo que entiendo que lo tengo mal.
Sale el resultado correcto al lado de cada apartado pero tengo problemas para entender como se haya ese resultado.
Por favor, intentad explicadmelo de la manera más sencilla imposible, no tengo bachillerato y estoy pasandolo bastante duro con la ingeniería.
Gracias de antemano.

Ejercicio
. El jefe de compras de una empresa se abastece habitualmente a través de tres proveedores, S1, S2 y S3, con
probabilidades 0,2; 0,3 y 0,5 respectivamente.
Cierto día desea comprar dos artículos, A y B. A se encuentra en cada proveedor con probabilidades 0,2; 0,4 y
0,6; mientras que B lo hace con probabilidades 0,6; 0,4 y 0,2. Finalmente puede encontrar ambos en cada uno
de ellos en el 10 %, 20 % y 10 % de los casos respectivamente.
Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que encuentre el artículo A.(0,49)
b) Que no encuentre el B. (0,27)
c) Que encuentre ambos. (0,13)
d) Que encuentre al menos uno. (0,73)
e) Si encontro el artıculo A, que fuese en S1. (0,082)

Vale, puedes pensar que \( A,\,B,\,S1,\, S2 \) y \( S3 \) son subconjuntos de un espacio de probabilidad \( \Omega  \) desconocido, entonces la información que te dan es

\( \displaystyle{
\Pr [S1]=0,2,\quad \Pr [S2]=0,3,\quad \Pr [S3]=0,5\\
\Pr [A|S1]=0,2,\quad \Pr [A|S2]=0,4,\quad \Pr [A|S3]=0,6\\
\Pr [B|S1]=0,6,\quad \Pr [B|S2]=0,4,\quad \Pr [B|S3]=0,2\\
\Pr [A\cap B|S1]=10\%=0,1,\quad \Pr [A\cap B|S2]=20\%=0,2,\quad \Pr [A\cap B|S3]=10\%=0,1
} \)

Entonces, por ejemplo, en a) te piden \( \Pr [A] \). Es natural asumir que \( S1,\, S2 \) y \( S3 \) son disjuntos (ya que son proveedores diferentes, es decir, cada artículo pertenece a un solo proveedor), y además tenemos que \( \Pr [S1]+\Pr [S2]+\Pr [S3]=1 \), por lo que podemos asumir que los conjuntos \( S \) definen una partición de \( \Omega  \), entonces usando ese dato y la probabilidad total tenemos que

\( \displaystyle{
\Pr [A]=\Pr [A|S1]\Pr [S1]+\Pr [A|S2]\Pr [S2]+\Pr [A|S3]\Pr [S3]=0,04+0,12+0,3=0,46
} \)

que difiere del resultado dado. De manera similar en b) te piden calcular \( \Pr [B^\complement ]=1-\Pr [B] \), en c) calcular \( \Pr [A\cap B] \), en d) calcular \( \Pr [A\cup B]=\Pr [A]+\Pr [B]-\Pr [A\cap B] \), y en e) \( \Pr [S1|A] \). Con el ejercicio ya interpretado y en ejemplo de arriba espero que ya sepas resolver el ejercicio.

Bueno, me da gusto saber que al menos a la gente también le da los mismos resultados que a mí.
Igualmente, si alguien consigue interpretarlo para que de esos resultados me alegraría, porque no sé si es que lo interprete mal y tiene que dar esos resultados o esta mal.
Gracias de todas formas

16 Junio, 2021, 02:51 am
Respuesta #5

Masacroso

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Bueno, me da gusto saber que al menos a la gente también le da los mismos resultados que a mí.
Igualmente, si alguien consigue interpretarlo para que de esos resultados me alegraría, porque no sé si es que lo interprete mal y tiene que dar esos resultados o esta mal.
Gracias de todas formas

No veo forma de interpretar el ejercicio de otra manera. El resultado que te han dado debe estar mal, o hay una errata al copiar los datos del ejercicio.

16 Junio, 2021, 03:51 am
Respuesta #6

C. Enrique B.

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Volviendo a la propuesta, explicada en mi post previo, sobre "eliminar una supuesta contradicción del enunciado", creo que he encontrado la solución coincidente para "C) Que encuentre ambos. (0'13)".

Como -según mi propuesta-, en un determinado almacén (pongamos S1), o bien se encuentra SÓLO Art.A (0'2), o bien SÓLO Art.B (0'6), o bien ambos (0'1) -y parece que deja otro 0'1 para el caso en el que no haya ni A ni B-, entonces ...

...
\( \displaystyle{
\Pr [S1]=0,2,\quad \Pr [S2]=0,3,\quad \Pr [S3]=0,5\\
\Pr [A|S1]=0,2,\quad \Pr [A|S2]=0,4,\quad \Pr [A|S3]=0,6\\
\Pr [B|S1]=0,6,\quad \Pr [B|S2]=0,4,\quad \Pr [B|S3]=0,2\\
\Pr [A\cap B|S1]=10\%=0,1,\quad \Pr [A\cap B|S2]=20\%=0,2,\quad \Pr [A\cap B|S3]=10\%=0,1
} \)
...

La probabilidad de que A y B estén juntitos en S1 es del 10 por ciento. La probabilidad de S1 es el 20 por ciento. Y la probabilidad conjunta es 0'02.

Similar para S2 (0'06) y S3 (0'05).

Todo lo cual dá el previsto 0'13.

¿Alguna objeción, sea a mi primera propuesta de ruptura de la supuesta contradicción del enunciado, o sea a esta coincidencia con el resultado previsto?
____________________


Esto que sigue no lo he mirado bien, pero puede ser que haya un error tipográfico, ya que el primer resultado correcto expresado en el enunciado (0'49), a mí me dá 0'59 (los 0'46 de Masacroso MÁS los 0'13 explicados en la primera parte de este post).
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16 Junio, 2021, 04:05 am
Respuesta #7

C. Enrique B.

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En cuanto a "d) Que encuentre al menos uno. (0'73)". Esto se puede derivar, sin hacer ningún cálculo, de la respuestas "a)" y "b)". En el caso concreto del enunciado, y si la probabilidad de que "no encuentre el Art.B" es del 0'27, entonces la probabilidad de  que "encuentre el Art.B" es del 0'73.

Y como la probabilidad de que encuentre el Art.A es menor que la de Art.B, entonces la probabilidad de que encuentre uno de los dos es la probabilidad de que encuentre el Art.B, o sea, 0'73.
____________________


En definitiva, pueden existir errores tipográficos, algún otro error basto, y otros errores por no hacer las cuentas y apoyarse en resultados previos ... o quizá nada de lo anterior.

Creo que el abordaje y la presentación de Masacroso son limpios y directos ... y he aprendido cosicas, je, je. Gracias a ambos.
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16 Junio, 2021, 10:05 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Dicho lo anterior, veo una contradicción (y eso significaría que he interpretado mal el enunciado), ya que la probabilidad de encontrar Art.A en S1, y la probabilidad de encontrar Art.B en S1, darían como resultado una probabilidad FIJA de encontrarlos a ambos a la vez (y ese valor no coincide con las probabilidades que nos indican en la última línea del enunciado, la cual comienza con "Finalmente ..."), SALVO QUE modifique mi explicación de 3) y 4), como sigue:

No es cierto que la probabilidad de encontrar \( A \) y de encontrar \( B \) fije la probabilidad de encontrar ambos. En otras palabras conocidas \( P(A) \) y \( P(B) \) no está inequívocamente determinada \( P(A\cap B). \)

Por ejemplo si el experimento tirar un dado consideramos \( A= \)"sale un número par" y \( B= \)"sale el uno", se tiene que \( P(A)=1/2 \), \( P(B)=1/6 \) y \( P(A\cap B)=0 \) (es imposible que al mismo tiempo salga el uno y un número par). Pero si consideramos \( A= \)"sale un número impar" y \( B= \)"sale el uno", se tiene que \( P(A)=1/2 \), \( P(B)=1/6 \) pero ahora \( P(A\cap B)=
P(B)=1/6 \).

-
En cuanto a "d) Que encuentre al menos uno. (0'73)". Esto se puede derivar, sin hacer ningún cálculo, de la respuestas "a)" y "b)". En el caso concreto del enunciado, y si la probabilidad de que "no encuentre el Art.B" es del 0'27, entonces la probabilidad de  que "encuentre el Art.B" es del 0'73.

Y como la probabilidad de que encuentre el Art.A es menor que la de Art.B, entonces la probabilidad de que encuentre uno de los dos es la probabilidad de que encuentre el Art.B, o sea, 0'73.

Eso está mal. La probabilidad de encontrar al menos uno, es \( P(A\cup B)  \); no puedes dar como respuesta \( P(B) \) porque dejas fuera los casos en los que se encuentre \( A \) pero no \( B \) (casos en los que también habríamos encontrado "al menos uno").

De hecho los resultados que da el ejercicio para los casos a)b)c)d) son incompatibles. Según ellos sería:

a) \( P(A)=0.49 \)
b) \( P(B^c)=0.27\quad \Rightarrow{}\quad P(B)=1-0.27=0.73 \)
c) \( P(A\cap B)=0.13 \)
d) \( P(A\cup B)=0.73 \).

Pero debería de cumplirse que:

\( P(A)+P(B)=P(A\cap B)+P(A\cup B) \)

y con esos valores NO se cumple.

Saludos.

16 Junio, 2021, 08:58 pm
Respuesta #9

C. Enrique B.

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Cita de: Luis Fuentes
-
Dicho lo anterior, veo una contradicción (y eso significaría que he interpretado mal el enunciado), ya que la probabilidad de encontrar Art.A en S1, y la probabilidad de encontrar Art.B en S1, darían como resultado una probabilidad FIJA de encontrarlos a ambos a la vez (y ese valor no coincide con las probabilidades que nos indican en la última línea del enunciado, la cual comienza con "Finalmente ..."), SALVO QUE modifique mi explicación de 3) y 4), como sigue:

No es cierto que la probabilidad de encontrar \( A \) y de encontrar \( B \) fije la probabilidad de encontrar ambos. En otras palabras conocidas \( P(A) \) y \( P(B) \) no está inequívocamente determinada \( P(A\cap B). \)

Por ejemplo si el experimento tirar un dado consideramos \( A= \)"sale un número par" y \( B= \)"sale el uno", se tiene que \( P(A)=1/2 \), \( P(B)=1/6 \) y \( P(A\cap B)=0 \) (es imposible que al mismo tiempo salga el uno y un número par). Pero si consideramos \( A= \)"sale un número impar" y \( B= \)"sale el uno", se tiene que \( P(A)=1/2 \), \( P(B)=1/6 \) pero ahora \( P(A\cap B)=
P(B)=1/6 \).


1) Los dos ejemplos que pones muestran sucesos relacionados (no son independientes). Y ése no parecía ser el caso de este hilo: Art.A en S1 es independiente de Art.B en S1 (en principio ... aunque luego, al observar la contradicción que se derivaba, deduje que SI estaban relacionados, y que esa probabilidad se muestra en la última línea del enunciado, en "Finalmente ..."

2) En principio, al leer el enunciado, creo entender que "A se encuentra en cada proveedor con probabilidades 0,2 en S1; etc." significa que P[A|S1] = 0'2 ... pero, una vez leída la línea "Finalmente ...", veo que los valores no encajan, y por eso deduzco que la primera info del enunciado significa: "A se encuentra SOLO (solo él, implicando que NO está B) en cada proveedor con probabilidades 0'2 en S1; etc."
____________________


Cita de: Luis Fuentes
-
En cuanto a "d) Que encuentre al menos uno. (0'73)". Esto se puede derivar, sin hacer ningún cálculo, de la respuestas "a)" y "b)". En el caso concreto del enunciado, y si la probabilidad de que "no encuentre el Art.B" es del 0'27, entonces la probabilidad de  que "encuentre el Art.B" es del 0'73.

Y como la probabilidad de que encuentre el Art.A es menor que la de Art.B, entonces la probabilidad de que encuentre uno de los dos es la probabilidad de que encuentre el Art.B, o sea, 0'73.

Eso está mal. La probabilidad de encontrar al menos uno, es \( P(A\cup B)  \); no puedes dar como respuesta \( P(B) \) porque dejas fuera los casos en los que se encuentre \( A \) pero no \( B \) (casos en los que también habríamos encontrado "al menos uno").

3) En la misma cita que has hecho de mi texto se ve que contemplo los casos "en los que se encuentre A pero no B". Lo que sucede es que, al ser P(X) menor que P(Y), entonces P(A U B) = P(Y).

Sólo apuntaba yo que, si consideramos la respuesta a "b) Que no encuentre el B" como correcta, 0'27, eso implica que P(B) = 0'73 ...

... y si consideramos la respuesta "a) Que encuentre el artículo A" como correcta, P(A) = 0'49 ,entonces ...

... ya que P(B) > P(A), llegamos a que P(A U B) = P(B), o sea, 0'73
____________________


En mi último post indiqué que el enunciado parece contener errores tipográficos, errores burdos y errores por no hacer ciertos cálculos, sino basarse en las respuestas anteriores (erróneas).
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