Autor Tema: Bolas abiertas y cerradas

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10 Junio, 2021, 11:22 pm
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Matias Topologia

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Hola me podrían ayudar con la siguiente actividad:

Sea el intervalo real cerrado \( [0,2] \) con la distancia discreta
a) Hallar la bola abierta de centro en \( x_0 \) y radio \( 1 \)
b) Encontrar su clausura
c) Encontrar la bola cerrada de centro \( x_0 \) y radio \( 1 \) ¿se puede decir que la clausura de la bola abierta es igual a la bola cerrada?.

Mensaje corregido desde la administración.

11 Junio, 2021, 07:46 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Hola me podrían ayudar con la siguiente actividad:

Sea el intervalo real cerrado \( [0,2] \) con la distancia discreta
a) Hallar la bola abierta de centro en \( x_0 \) y radio \( 1 \)
b) Encontrar su clausura
c) Encontrar la bola cerrada de centro \( x_0 \) y radio \( 1 \) ¿se puede decir que la clausura de la bola abierta es igual a la bola cerrada?.

La métrica discreta es:

\( d(x,y)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x=y\\c & \text{si}& x\neq y\end{cases} \)

Entonces:

a) \( B(x_0,1)=\{y\in [0,2]|d(x_0,y)<1\}=\ldots.... \) ¿qué crees? ¿para qué puntos la distancia es menor que uno?

b) Con la métrica discreta todo punto es abierto (consecuencia de a). Por tanto todo conjunto es abierto. Por tanto todo conjunto es cerrado. Por tanto todo conjunto coincide con su clausura.

c) \( B[x_0,1]=\{y\in [0,2]|d(x_0,y)\leq 1\}=[0,2] \) porque la distancia entre cualquier par de puntos nunca supera la unidad.

Ahora puedes responder a lo que te preguntan.

Si te quedan dudas vuelve a preguntar, indicando que has intentado y que dificultades concretas encuentras.

Saludos.