Autor Tema: Longitud del arcoseno

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Junio, 2021, 03:53 pm
Leído 238 veces

NoelAlmunia

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 55
  • País: cu
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Determinar de la manera más precisa la longitud de la curva \( f_\left(x\right)=\arcsen\left(x\right) \)


10 Junio, 2021, 09:45 pm
Respuesta #1

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,039
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Hola, NoelAlmunia!

Creo que la fórmula es \( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ({\dfrac{dy}{dx}}\right )^2dx} \). Me parece que lo interesante sería saber por qué es ésta la fórmula. No he buscado más.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

10 Junio, 2021, 10:24 pm
Respuesta #2

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,692
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Corroboro lo que dice Marcos y extiendo un poco: si tenemos una curva parametrizada por una función del tipo \( \gamma :[0,1]\to \mathbb{R}^2 \) la cual es continua y diferenciable en todos los puntos exceptuando quizá un número finito de puntos entonces se define la longitud de la curva como

\( \displaystyle{
\int_{a}^b \|\gamma '(t)\|_2\mathop{}\!d t
} \)

donde \( \|\cdot\|_2 \) es la norma euclídea en \( \mathbb{R}^2 \).

En tu caso lo que hay que hacer es parametrizar la gráfica de la función \( f:[-1,1]\to \mathbb{R},\, x\mapsto \arcsin (x) \), la parametrización que suele usarse para el gráfico de una función real es \( \gamma :I\to \mathbb{R}^2,\, t\mapsto (t,f(t)) \), donde \( I \) suele coincidir con el dominio de \( f \).

Con lo dicho seguramente ya puedas resolverlo.

10 Junio, 2021, 11:03 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,304
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Puede parametrizarse también como \( \alpha(t)=(sin(t),t) \) con \( t\in [-\pi/2,\pi/2] \).

 De ahí se puede ver que la longitud es la misma que el semiperímetro de de una elipse de radios mayor y menor \( 1 \) y \( \sqrt{2} \), y con eso aprovechar toda la batería de resultados conocidos para aproximar el perímetro de una elipse.

Saludos.

11 Junio, 2021, 12:55 am
Respuesta #4

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,113
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Hola, NoelAlmunia!

Creo que la fórmula es \( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ({\dfrac{dy}{dx}}\right )^2dx} \). Me parece que lo interesante sería saber por qué es ésta la fórmula. No he buscado más.

¡Un saludo!

Dejaste el diferencial dx dentro de la raíz

\( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ({\dfrac{dy}{dx}}\right )^2}dx \)

Haciendo la sustitución para el arcsen

\( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ({\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\right )^2}dx=\int_{a}^{b}\sqrt{{1+\dfrac{1}{1-x^2}}}dx \)

Y la primitiva del integrando no se puede expresar con las funciones comunes.


Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

11 Junio, 2021, 10:46 am
Respuesta #5

ToniGim

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 84
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola:
Introduzco los datos en WolframAlpha y se obtiene: 3,8201977 uds.

Saludos

11 Junio, 2021, 05:16 pm
Respuesta #6

NoelAlmunia

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 55
  • País: cu
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Hola, NoelAlmunia!

Creo que la fórmula es \( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ({\dfrac{dy}{dx}}\right )^2dx} \). Me parece que lo interesante sería saber por qué es ésta la fórmula. No he buscado más.

¡Un saludo!

Correcto Marcos, esta es la fórmula de la longitud de un arco de una curva plana, en este caso, parametrizada respecto a \( x \).
Esta fórmula se debe a que la longitud del arco de una curva de la forma \( y=f_\left(x\right) \) es calculable a partir del límite de la sucesión o sumatoria de aproximaciones poligonales de la curva en cuestión haciendo uso del teorema de Pitágoras. O sea, se asume esta longitud como la suma de todas las longitudes infinitesimales \( dl \) en las cuales se subdivide, desde un punto \( a \) hasta otro punto \( b \).
Tomaremos como ejemplo la siguiente curva a la que le he pintado un diferencial de longitud sobredimensionado para que se comprenda:



Entonces podemos asumir que: \( \triangle\,l\approx\sqrt[ ]{\left(\triangle\,x\right)^2+\left(\triangle\,y\right)^2} \)
En el límite podemos expresarlo de forma diferencial: \( dl^2=dx^2+dy^2 \)
Si parametrizamos respecto a \( x \) tendremos entonces que: \( dl=\pm{\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\frac{dx}{dx}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}}\,dx \)

Sumando todas las longitudes infinitesimales de \( a \) hasta \( b \), tendremos la integral de línea:
\( L=\displaystyle\int_{C}\,dl=\displaystyle\int_{a}^{b}\pm{\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\frac{dx}{dx}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dx}\right)^2}}\,dx \), donde el signo del radical depende de si la coordenada \( x \) va de un valor inferior a uno superior o viceversa.

Si la curva está parametrizada respecto a un parámetro \( t \), por ejemplo, entonces sería como:
\( L=\displaystyle\int_{C}\,dl=\displaystyle\int_{a}^{b}\pm{\sqrt[ ]{\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{dy}{dt}\right)^2}}\,dt \)

11 Junio, 2021, 05:31 pm
Respuesta #7

NoelAlmunia

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 55
  • País: cu
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola:
Introduzco los datos en WolframAlpha y se obtiene: 3,8201977 uds.

Saludos

Correcto ToniGim, este es el resultado que entrega  WolframAlpha. Me doy cuenta que eres muy fan a este SAC, creo que más que al lápiz y al papel, jaja.., es una broma. Al parecer siempre recurres a él.
Pero si profundizas un poco más creo que puedes resolver esta integral con el lápiz, posible sí es. Yo estoy en eso y creo que voy a dar con el resultado. Espero que tú también, luego confrontamos.
Saludos hermano.

11 Junio, 2021, 06:20 pm
Respuesta #8

ToniGim

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 84
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola NoelAlmunia:
No es que sea fan de Wolfram pero los instrumentos están para utilizarlos.
Tengo las integrales bastante olvidadas, de momento estoy con la geometría plana; así que no podremos confrontar datos.
Respecto de las integrales elípticas ¿hay alguna demostración matemática que muestre que son irresolubles por los medios tradicionales?
saludos

Ayer a las 07:26 pm
Respuesta #9

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,113
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Este problema equivale a calcular la longitud de la curva \[ y=sen(x) \]   en el intervalo de \[ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \]

La integral a resolver es     \[ L=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+cos^2(x)}dx \]

Dada la simetría de la curva podemos hacer  \[ L={2\cdot}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+cos^2(x)}dx \]

Podemos aproximar ese integrando por un polinomio de grado 4, a mano se requiere mucho tiempo y mucha paciencia,

Sistema resolver
Tomamos n pares \( (x_i,y_i) \) del la función \[ y=f(x)=\sqrt{1+cos^2(x)} \] en el intervalos de \( [0,\frac{\pi}{2}] \)
EL polinomio que se aproxime a f(x) en ese intervalo \( P_4(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4 \)

Utilizando el método de los mínimos cuadrados para obtener un polinomio de grado 4, deberemos resolver el siguiente sistema:

\[ \begin{cases}a_0\displaystyle\sum_{i=1}^n{1}+a_1\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}+a_2\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^2}+a_3\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^3}+a_4\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^4}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{y_i}\\ a_0\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}+a_1\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^2}+a_2\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^3}+a_3\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^4}+a_4\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^5}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{y_ix_i}\\ a_0\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^2}+a_1\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^3}+a_2\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^4}+a_3\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^5}+a_4\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^6}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{y_ix_i^2}\\ a_0\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^3}+a_1\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^4}+a_2\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^5}+a_3\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^6}+a_4\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^7}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{y_ix_i^3}\\ a_0\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^4}+a_1\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^5}+a_2\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^6}+a_3\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^7}+a_4\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i^8}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{y_ix_i^4}\end{cases} \]
[cerrar]

El polinomio es:

\[ P(x)=0.05702263x^4+0.05330407x^3-0.39950743x^2+0.01275985x+1.41348223 \]

Añado sus gráficas superpuestas




La integral definida resulta   \[ \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(0.05702263x^4+0.05330407x^3-0.39950743x^2+0.01275985x+1.41348223)}\; dx\bf \approx 1.9100921145045957 \]

Por lo que \[ \bf L\approx 3.8201842290091914 \]


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...