Autor Tema: Elementos del cociente de un anillo

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10 Junio, 2021, 09:31 am
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URama

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Hola buenas! Tengo una duda acerca de cuantos elementos tiene un anillo cociente:
\( \displaystyle\frac{\mathbb{Z}/\mathbb{6Z}[x]}{x^2-1} \) i \( \displaystyle\frac{\mathbb{Z}/\mathbb{6Z}[x]}{3x^2-1} \).
Como los polinomios no son irreductibles, el cociente entonces no es un cuerpo y no puedo dividir y ver que los elementos del cociente son estrictamente menores de grado. Entonces como procedo para determinar el numero de elementos de estos?

Muchas gracias!

10 Junio, 2021, 11:06 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola buenas! Tengo una duda acerca de cuantos elementos tiene un anillo cociente:
\( \displaystyle\frac{\mathbb{Z}/\mathbb{6Z}[x]}{x^2-1} \) i \( \displaystyle\frac{\mathbb{Z}/\mathbb{6Z}[x]}{3x^2-1} \).
Como los polinomios no son irreductibles, el cociente entonces no es un cuerpo y no puedo dividir y ver que los elementos del cociente son estrictamente menores de grado. Entonces como procedo para determinar el numero de elementos de estos?

En el caso de \( \displaystyle\frac{\mathbb{Z}/\mathbb{6Z}[x]}{x^2-1} \), cualquier elemento del cociente tiene un representante de la forma \( ax+b \) con \( a,b\in \Bbb Z_6 \), ya que \( x^2\equiv 1\quad mod\quad <x^2-1> \). Además \( ax+b\in <x^2-1> \) si y sólo si \( a=b=0 \). Por tanto todos los representantes \( ax+b \) con \( a,b\in \Bbb Z_6 \) corresponden a clases distintas y así el cociente tiene \( 6^2=36 \) elementos.

En el segundo ten en cuenta que \( x^2-1=(2x^2+1)(3x^2-1) \) por tanto \( <x^2-1>\subset <3x^2-1> \). Entonces el segundo cociente es un cociente del primero. También nota que \( (3x^2-1)\cdot (-2)=2 \). Con esto intenta terminar.

Saludos.