Autor Tema: Ecuación general de la recta y vector normal

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08 Junio, 2021, 11:04 am
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Marcos Castillo

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Hola, Rincón

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Otra interpretación de la ecuación paramétrica \( X=A+\lambda\mathbf v \) es que el vector \( \vec {AX} \) depende linealmente del vector \( \mathbf v \). Por tanto

\( \mbox{det}(\vec{AX},\mathbf v)=\begin{pmatrix}{x_1-a_1}&{x_2-a_2}\\{v_1}&{v_2}\end{pmatrix}=0 \)

Desarrollando

\( v_2(x_1-a_1)+(-v_1)(x_2-a_2)=0 \)

o sea

\( v_2x_1+(-v_1)x_2+(v_1a_2-v_2a_1)=0 \)

Todas las rectas tienen una ecuación que se puede reducir a la forma general o implícita

\( Ax_1+Bx_2+C=0 \)

Siendo los números \( A \) y \( B \) no ambos nulos.

Si el sistema de referencia es cartesiano, el vector formado por los coeficientes de las variables \( x_1 \) y \( x_2 \) en la ecuación general es \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \), que es ortogonal al vector de dirección.




¿Cómo doy encaje a la imagen? Yo dibujo \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \) y me sale ortogonal, pero en sentido contrario al de la imagen, que indica \( \mathbf n=(A,B) \)

Un saludo
No man is an island (John Donne)

08 Junio, 2021, 12:57 pm
Respuesta #1

feriva

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Hola, Marcos.

Lo mejor, en mi opinión, es verlo con paramétricas.

Si, por ejemplo, tienes la recta

\( 3x-2y+4=0
  \)

Haces \( x=\lambda
  \) y pones “y” en función de lambda, tienes

\( x=\lambda
  \)

\( y=\dfrac{-4-3\lambda}{-2}=2+\dfrac{3}{2}\lambda
  \)

entonces \( y-2=\dfrac{3}{2}\lambda
  \) es la coordenada “y” del el vector director de la recta (coordenada de punto menos coordenada de punto igual a coordenada de vector).

Análogamente, en la otra ecuación, \( x-0=\lambda
  \) es la coordenada “x” del vector director.

Luego el vector director es \( v=(\lambda,\dfrac{3}{2}\lambda)
  \); donde podemos multiplicar por 2 para quitar el denominador :

\( v=2(\lambda,\dfrac{3}{2}\lambda)=(2\lambda,3\lambda)=\lambda(2,3)
  \)

El vector normal a éste, (digamos (a,b)) por producto escalar, es tal que

\( (2\lambda,3\lambda)(a,b)=2\lambda a+3\lambda b=0\Rightarrow2a=-3b
  \).

De donde despejando \( b=-\dfrac{2a}{3}
  \).

Así pues el vector normal es \( (a,-\dfrac{2a}{3})=a(1-\dfrac{2}{3})
  \), donde haciendo a=3 un representante es \( (3,-2)
  \).

Es decir, viene dado por los coeficientes de “x” e “y”.
Si lo multiplicamos por -1 sigue siendo el vector normal: \( \lambda(3,-2)
  \) con lambda igual a "-1" es \( (-3,2)
  \);  sale en sentido opuesto, pero sigue siendo perpendicular al otro.

Saludos.

08 Junio, 2021, 03:59 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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Puf... ¡Muchas gracias, feriva! Me has sacado de un buen embrollo. Brillante, sencillo, completo, contundente.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

08 Junio, 2021, 05:53 pm
Respuesta #3

ToniGim

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Hola
Por el desarrollo que ha hecho feriva interpreto que la ecuación inicial de Marcos responde a la que muestro en la figura.


saludos

08 Junio, 2021, 06:16 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Se puede deducir la forma de la ecuación general de la recta \( r \) de la siguiente manera: sea \( (\alpha,\beta)\in r \). Entonces,

          \( (x_1,x_2)\in r \Leftrightarrow \mathbf{n}\perp (x_1-\alpha,x_2-\beta)\Leftrightarrow A(x_1-\alpha)+B(x_2-\beta) =0 \).

08 Junio, 2021, 10:30 pm
Respuesta #5

Marcos Castillo

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Hola
Por el desarrollo que ha hecho feriva interpreto que la ecuación inicial de Marcos responde a la que muestro en la figura.

saludos

¡Hola, ToniGim!

No he sabido abrir la imagen que has adjuntado, pero la ecuación inicial que he escrito ha sido \( X=A+\lambda\mathbf v \): la fórmula de la ecuación general de la recta, no de una recta en particular. Mi mensaje es un galimatías algebraico; feriva ha partido de un ejemplo concreto de ecuación general de la recta, y la ha pasado a paramétrica. No existe dibujo para lo que yo he escrito.

¿Preguntabas eso?

¡Un saludo!

PS: Fernando, pura magia.
No man is an island (John Donne)

09 Junio, 2021, 01:27 pm
Respuesta #6

ToniGim

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Todo resuelto, Marcos. Geniales feriva y Fernando
saludos