Autor Tema: Sustitución recursiva

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17 Mayo, 2021, 05:12 am
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Francois

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Buen día.

Estoy estudiando un libro Macroeconomía dinámica.
Y en su solucionario tengo un paso que no logro entender.

Sabiendo que \( k_{t+1}=\alpha \beta k_{t}^{\alpha} \) Donde \( 0<\alpha, \beta <1 \).

Dice: The optimal policy function, written (by recursive substitution) as a
function of the initial capital stock is (in logs)

Se llega a \( log(k_t)=(\sum_{i=0}^{t-1}\alpha^i)log(\alpha \beta) +\alpha^{t}log(k_0) \)

Quería saber si me podrían ayudar con el álgebra. Porque no entiendo como llego a ese punto por sustitución recursiva.
Espero no se necesite escribir todo el modelo.

Nota: el libro es Stokey Lucas.(Recursive Methods in Economic Dynamics)

Muchas gracias.

17 Mayo, 2021, 09:48 am
Respuesta #1

DaniM

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Puedes probar a tomar el logaritmo para los primeros valores de \( t \) y ver qué forma va tomando la ecuación a medida que vas sustituyendo.

Para \( t = 1 \) tienes que \( k_{1} = \alpha \beta k_{0} ^ \alpha \implies log(k_1) = log(\alpha \beta) + \alpha log(k_0)  \).

Haces lo mismo con \( t = 2 \) y llegas a \( log(k_2) = log(\alpha \beta) + \alpha log(k_1) = ... = (1 + \alpha)log (\alpha \beta) + \alpha ^ {2} log(k_0) \), sustituyendo la primera ecuación en la segunda.

Viendo el patrón que sigue la ecuación a medida que vas sustituyendo \( log(k_{n}) \) por la igualdad a la que llegas en el paso anterior, generalizas para \( t \) y demuestras por inducción que dicha generalización sigue siendo válida.

17 Mayo, 2021, 10:50 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Buen día.

Estoy estudiando un libro Macroeconomía dinámica.
Y en su solucionario tengo un paso que no logro entender.

Sabiendo que \( k_{t+1}=\alpha \beta k_{t}^{\alpha} \) Donde \( 0<\alpha, \beta <1 \).

Como añadido a lo que apunta DaniM, si haces \( a_n=log(k_n) \) la ecuación queda:

\( a_{n+1}=\alpha\cdot a_n+cte \) con \( cte=log(\alpha\beta) \)

Es una ecuación lineal no homogénea. Si conoces la teoría general de ecuaciones en recurrencia lineales, la solución de la homogénea asociada es \( a_n=c_0\cdot \alpha^n \). Una solución particular constante \( a_n=c \) cumple \( c=\alpha c+cte \), es decir \( c=\dfrac{cte}{1-\alpha} \) por tanto la solución general es:

\( a_n=c_0\alpha^n+\dfrac{cte}{1-\alpha} \)

Igualando a \( a_0 \) para \( n=0 \) puedes hallar \( c_0 \) en función de \( a_0=log(k_0).
 \)

Saludos.

08 Junio, 2021, 06:47 am
Respuesta #3

Francois

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Muchas gracias por la ayuda:

DaniM
Luis Fuentes

Disculpen la demora en responder.
Se agradece.

Saludos.