[Ricardo Boza]

Hola,

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica

"Una función analítica es suave si tiene infinitas derivadas."

¿Un ejemplo de función analítica que no sea suave? Es decir, una función analítica que no tenga infinitas derivadas (dentro del intervalo de convergencia considerado).

Una función es analítica si puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una serie de potencias es infinitamente derivable, así que una función analítica es infinitamente derivable. Por eso no se puede encontrar una función analítica que no tenga infinitas derivadas. Una función analítica siempre es suave.

Aunque la definición de suave es ser continuamente diferenciable. Lo que ocurre aquí es que las derivadas de una serie de potencias siempre son continuas, por eso se puede eliminar "tiene infinitas derivadas y son continuas"

Pero no lo pillo.

Gracias,

Saludos.

[geómetracat]

Un consejo: no te fies de los artículos de matemáticas de la Wikipedia en español. Esta frase en concreto despista mucho porque parece que implique que hay funciones análiticas no suaves.

No hay ejemplos de funciones analíticas que no sean suaves. Todas lo son, por lo que dices después. Lo de la continuidad en funciones suaves (infinitamente diferenciables, o de clase \( C^\infty \)) se puede omitir porque es automático: si \( f \) tiene derivadas de cualquier orden todas son continuas, porque al ser \( f^{(k)} \) diferenciable es continua.