Autor Tema: Demostrar Vm,n = Vm-1,n + nVm-1,n-1

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05 Octubre, 2020, 09:36 pm
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w a y s

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Hola , traigo un ejercicio sobre variaciones sin repetición.

El enunciado es el siguiente,

  Demostrar que \( V_m^n=V_{m-1}^{n}+ nV_{m-1}^{n-1}. \)

Tengo problemas cuando he de operar el \( nV_{m-1}^{n-1} \). También , algo que me cuesta entender es, ¿por qué \( V_{m}^{n}=\frac{m!}{(m-n)!}? \)

¿Podría alguien por favor echarme una mano?

Muchas gracias de antemano, un saludo.

05 Octubre, 2020, 10:13 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

El enunciado es el siguiente,

  Demostrar que \( V_m^n=V_{m-1}^{n}+ nV_{m-1}^{n-1}. \)

Tengo problemas cuando he de operar el \( nV_{m-1}^{n-1} \). También , algo que me cuesta entender es, ¿por qué \( V_{m}^{n}=\frac{m!}{(m-n)!}? \)

¿Podría alguien por favor echarme una mano?

A la hora de justificar que \( V_{m}^{n}=\frac{m!}{(m-n)!} \) habría que saber exactamente como te han definido \( V_{m}^{n} \). Una opción es que \( V_{m}^{n} \) se defina como el número de aplicaciones inyectivas de un conjunto \( A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\} \) de \( n \) elementos en uno \( B=\{b_1,b_2,\ldots,b_m\} \) de \( m \) elementos.

Entonces nota que para definir una tal aplicación para la imagen de \( a_1 \) tenemos \( m \) posiblidades. Fijada esta para la imagen de \( a_2 \) tenemos \( m-1 \) posibilidades para no repetir la imagen del anterior y mantener la inyectividad. Por lo mismo para \( a_3 \) tenemos \( m-2 \) posibibilidades y así sucesivamente. Entonces:

\( V_m^n=m(m-1)(m-2)\ldots (m-k+1)=m(m-1)(m-2)\ldots (m-k+1)\dfrac{(m-k)(m-k-1)\ldots 1}{(m-k)(m-k-1)\ldots 1}=\\\qquad =\dfrac{m(m-1)(m-2)\ldots (m-k+1)(m-k)(m-k-1)\ldots 1}{(m-k)(m-k-1)\ldots 1}=\dfrac{m!}{(m-k)!} \)

Para probar:

\( V_m^n=V_{m-1}^{n}+ nV_{m-1}^{n-1} \)

puedes hacerlo:

1) Con la fórmula anterior:

\( V_{m-1}^{n}+ nV_{m-1}^{n-1}=\dfrac{(m-1)!}{(m-1-n)!}+\cfrac{n(m-1)!}{m-1-(n-1)!}=(m-1)!\left(\dfrac{1}{(m-n-1)!}+\dfrac{n}{(m-n)!}\right)=\\
\qquad=(m-1)!\left(\dfrac{(m-n)}{(m-n)!}+\dfrac{n}{(m-n)!}\right)=\color{red}(m-1)!\color{black}\dfrac{m-n+n}{(m-n)!}=\dfrac{m!}{(m-n)!}=V_m^n \)

2) Por la definición anterior:

\( V_m^n \) es el número de aplicaciones inyectivas que pueden formarse de un conjunto de \( n \) elementos en uno \( B \) de \( m \). Estas pueden divirse en dos tipos: aquellas en las que el último elemento \( b_m \) de \( B \) no está en la imagen y por tanto son \( V_{m-1}^n \) (aplicaciones inyectivas de un conjunto de \( n \) elementos en otro de \( m-1 \)) y las que tienen a \( b_m \) en la imagen. Para contar estas últimas notamos que tenemos \( n \) opciones para elegir que elemento de \( A \) irá en \( b_m \). Los restantes tienen tantas posibilidades como aplicaciones inyectivas de un conjunto de \( n-1 \) elementos en uno de \( m-1 \). De ahí \( n\cdot V_{m-1}^{n-1} \).

Saludos.

CORRREGIDO (gracias w a y s)

05 Octubre, 2020, 10:26 pm
Respuesta #2

w a y s

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Hola, Luis Fuentes, antes que nada, muchas gracias por tu respuesta. Verás perdona por la insistencia pero aún tengo un par de dudas:

¿Por qué es \( (m-(n-1)) \)el último elemento de \( V_{m}^n  \)  ?

Y en el último paso de 1), ¿no sería \( (m-1)! \) en lugar de \( (m-1) \)?

Muchas rgacias por tu ayuda, saludos.

05 Octubre, 2020, 10:35 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, Luis Fuentes, antes que nada, muchas gracias por tu respuesta. Verás perdona por la insistencia pero aún tengo un par de dudas:

¿Por qué es \( (m-(n-1)) \)el último elemento de \( V_{m}^n  \)  ?

El producto empieza en \( m \) y va bajando de \( 1 \) en \( 1 \) hasta completar  \( k \) términos:

\( \underbrace{m(m-1)(m-2)(m-3)\ldots (?)}_{k\textsf{ términos}} \)

- Si \( k=1 \) sería simplemente \( m \).
- Si \( k=2 \) seria \( m(m-1) \) (el último término \( m-1=m-2+1 \))
- Si \( k=3 \) seria \( m(m-1)(m-2) \) (el último término \( m-2=m-3+1 \))
- Si \( k=4 \) seria \( m(m-1)(m-2)(m-3) \) (el último término \( m-3=m-4+1 \))
- Si \( k=5 \) seria \( m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4) \) (el último término \( m-4=m-5+1 \))

 ¿Lo ves ahora?.

Citar
Y en el último paso de 1) no sería \( (m-1)! \) en lugar de \( (m-1) \).

Si, gracias. Ya lo he corregido.

Saludos.

05 Octubre, 2020, 10:37 pm
Respuesta #4

w a y s

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Hola, Luis Fuentes, ahora ya lo veo perfectamente, me había hecho un lío con el ejercicio, muchísimas gracias por haberme ayudado.