Autor Tema: Identidad con Coeficiente Binomial

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10 Septiembre, 2020, 01:02 pm
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GPiquerez

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Buenos días, quisiera saber si ésta identidad con coeficiente binomial es conocida.

$$ \binom{n-(x+1)} {\alpha -1} =\sum_{i=1}^{i= \alpha} (-1)^{(i+1)} \frac {\binom{ \alpha }{ i}}{(i+1)} \left[ \binom{n-x(i+1)} {\alpha} - \binom{n-(x+1)(i+1)} {\alpha} \right] $$
$$ con\  \alpha \leqq \frac {n-x}{x+1} $$

En el caso de ser una identidad conocida, quisiera saber como se demuestra.
En el caso contrario, me gustaría que me ayuden a demostrarla.
Desde ya, agradecido.
(Adjunto archivo con algunos ejemplos y una demostración parcial variando los valores de \( \alpha \))

11 Septiembre, 2020, 08:34 am
Respuesta #1

Gustavo

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Hola. Mira la fórmula de Melzak acá y en particular la primera identidad del ejemplo 1.2.5 en la página 4. No hice las cuentas, pero una escogencia adecuada de los parámetros en esa identidad del documento parece ayudarte con la tuya si partes tu sumatoria en dos separando la diferencia dentro de los corchetes.

11 Septiembre, 2020, 12:09 pm
Respuesta #2

GPiquerez

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Bueno, al menos tengo una pista por donde seguir.
Gracias Gustavo.

12 Septiembre, 2020, 07:20 am
Respuesta #3

Gustavo

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Para ser concretos, la fórmula de Melzak aplicada a la función \(  f(x) = \binom{mx}{n} \) da la siguiente identidad que mencioné en mi anterior respuesta

$$
\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{m(x-k) }{n} \frac{1}{y+k} = \frac{\binom{m(x+y) }{n}}{y \binom{y+n}{n}}.
$$

Cambiando \(  k \to i, \ n \to \alpha, \ y\to 1, \  m \to x, \ x \to \frac{n}{x}-1 \) queda

$$
\sum_{i=0}^{\alpha} g_i :=  \sum_{i=0}^{\alpha} (-1)^i \binom{\alpha}{i} \binom{n-x(i+1)}{\alpha} \frac{1}{1+i} = \frac{\binom{n }{\alpha}}{n+1}.
$$

Cambiando \(  k \to i, \ n \to \alpha, \ y\to 1, \  m \to x+1, \ x \to \frac{n}{x+1}-1 \) queda

$$
\sum_{i=0}^{\alpha} h_i :=  \sum_{i=0}^{\alpha} (-1)^i \binom{\alpha}{i} \binom{n-(x+1)(i+1)}{\alpha} \frac{1}{1+i} = \frac{\binom{n }{\alpha}}{n+1}.
$$

Entonces

$$
\quad \sum_{i=1}^{\alpha} (-1)^{(i+1)} \frac {\binom{ \alpha }{ i}}{(i+1)} \left[ \binom{n-x(i+1)} {\alpha} - \binom{n-(x+1)(i+1)} {\alpha} \right] = - \sum_{i=1}^{\alpha} (g_i-h_i)
$$

$$
= \sum_{i=1}^{\alpha} h_i - \sum_{i=1}^{\alpha} g_i= \frac{\binom{n}{\alpha}}{n+1}-h_0- \frac{\binom{n}{\alpha}}{n+1}+g_0= \binom{n-x}{\alpha}- \binom{n-x-1}{\alpha} = \binom{n-x-1}{\alpha-1}   
$$

Por la forma en la que se dan las simplificaciones (donde el primer término es el crucial), imagino que debe haber una forma más fácil de probar la identidad y el contexto del problema puede ayudar. En cualquier caso no está de más tener presente la magnífica fórmula de Melzak, de la cual hay una prueba acá.

29 Septiembre, 2020, 12:10 am
Respuesta #4

GPiquerez

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Gracias Gustavo,

Para entender el contexto publiqué, en el foro de estadística, la distribución de Máximo Fracasos Consecutivos. De ahí surge la identidad.

Saludos.