Autor Tema: Divergencia de 1/n en ((0,1), du)

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14 Julio, 2020, 07:44 pm
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cradgube

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Buenas tardes. Tengo que demostrar la \( {\dfrac{1}{n}} \) es una sucesión de Cauchy que diverge en ((0,1), du) donde du es la distancia usual sobre R. Ya probé que es de Cauchy pero no tengo idea de como probar que diverge en ese espacio. Cualquier sugerencia que me den sería de ayuda. Gracias

14 Julio, 2020, 10:19 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Si estamos en el espacio \( ((0,1],d_u)  \) tenemos que \( \forall n \in \mathbb{N}  \) se tiene \( \dfrac{1}{n} > 0  \) si tiene límite no puede se negativo, para todo \(  \alpha > 0  \) existe \( n_{\alpha} \in \mathbb{N}  \) tal que para todo \( n \geq n_{\alpha}  \) se tiene \( \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{1}{n_{\alpha}}  < \alpha  \) entonces si tiene límite no puede ser positivo, sólo queda un candidato a límite.
¿El candidato pertenece a \( (0,1]  \)?.