Autor Tema: Homografías

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

23 Agosto, 2019, 08:50 am
Leído 479 veces

martiniano

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,679
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
HOMOGRAFÍAS

Definición. Una aplicación entre dos conjuntos en los que se ha definido una razón doble se llama homografía si conserva la razón doble. Una homografía entre dos haces de rectas concurrentes se suele llamar proyectividad, y a dichos haces se les llama proyectivos.

Lemas. Las traslaciones, los giros, las simetrías, las secciones, las homotecias y las proyecciones son homografías. La composición de homografías también es una homografía.

Ecuación de una homografía entre puntos de dos rectas

Una homografía entre puntos de dos rectas \( r \) y \( r' \) cumple: \( Ax\cdot{x'}+Bx+Cx'+D=0 \) donde \( A,B,C \) Y \( D \) son constantes reales, \( x \) la distancia de un punto \( X \) de \( r \) a un punto fijo o referencia de \( r \) y \( x' \) la distancia de la imagen de \( X \) en \( r' \) a un punto fijo o referencia de \( r' \).

\( Homografía definida a partir de tres pares de puntos homólogos \)

Todo se basa en un teorema que dice que cualquier homografía entre los puntos de dos rectas se puede escribir como composición de una traslación y una proyección.

Entonces, si tenemos tres puntos \( A,B \) y \( C  \) de una recta \( r \) y sus imágenes \( A',B' \) y \( C' \) sobre \( r' \) podemos hallar la imagen de un cuarto punto \( D \) de \( r \) considerando que la homografía es la composición de la traslación que transforma \( A \) en \( A' \), que a su vez transformará \( B,C \) y \( D \) en \( B'',C'' \) y \( D'' \), con la proyección que deja fijo a \( A' \) y transforma \( B'',C'' \) y \( D'' \) en \( B',C' \) y \( D' \). A ver si con el dibujo queda más claro:


Rectas dobles de una homografía entre rectas de un mismo haz de rectas concurrentes

La construcción esta no he llegado a aclarar por completo por qué funciona, pero lo hace. Se tienen tres rectas \( a,b,c \) y sus rectas imágenes por una homografía \( a',b',c' \), las seis concurrentes en un mismo punto \( V \). Se quieren hallar las rectas que quedan fijas bajo dicha homografía. Sea \( \Gamma \) una circunferencia que contiene a \( V \) y corta a las seis rectas en \( A,B,C,A',B' \) y \( C' \) respectivamente. Entonces los tres pares de rectas \( (AB',A'B) \), \( (BC',B'C) \) y \( (AC',A'C) \) se cortan en puntos de una recta (eje) que corta a \( \Gamma \) en puntos de las rectas dobles.


Puntos dobles de una homografía entre puntos de una misma recta

Se tienen tres puntos \( A,B,C \) y sus respectivas imágenes por una homografía \( A',B',C' \), los seis puntos de una misma recta. Se quiere hallar los dos puntos que quedan fijos bajo dicha homografía. No hay más que considerar dos haces de rectas \( a,b,c \) y \( a',b',c' \) concurrentes en un mismo vértice \( V \) y aplicar el método anterior para hallar las rectas dobles, cuyas intersecciones con la recta sobre la que están los seis puntos del enunciado serán los puntos dobles buscados.

Y para comprobar que todo funciona aquí hay un problema curioso:

23 Agosto, 2019, 08:59 am
Respuesta #1

martiniano

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,679
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sean dos rectas \( r,r' \) secantes en \( V \) y un punto \( P \) exterior a ambas. Sea también \( AVA' \) un triángulo con un vértice en \( V \) y dos de sus lados sobre \( r \) y \( r' \) respectivamente. Sea \( S \) el área de \( AVA' \). Se pide hallar la recta que pasando por \( P \) forma junto a \( r \) y \( r' \) un triángulo cuya área es igual a \( S \)

Para resolver el problema debemos considerar la aplicación \( f \) de los puntos de \( r \) en los puntos de \( r' \) tal que \( X'=f(X) \) si y sólo si el área del triángulo \( XVX' \) es la misma que la de \( AVA' \). Tenemos que el área de \( XVX' \) es \( \displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}VX\cdot{}VX'=S \) de donde \( VX\cdot{}VX'=cte \) y \( f \) es una homografía. Observar que la imagen de \( V \) es el punto impropio de \( r' \) y su antiimagen es el punto impropio de \( r \).

Sea \( g \) la aplicación de los puntos de \( s \) a los puntos de \( r \) que nos relaciona cada punto de \( s \) con su proyección por \( P \) sobre \( r \). Al ser \( g \) una aplicación también es una homografía, luego \( f\circ{g} \) es una homografía y sus puntos dobles son puntos de las rectas que buscamos.


Comenta lo que quieras en este otro hilo. Muchas gracias ;)