Autor Tema: Problemas de Apolonio

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22 Agosto, 2019, 09:18 pm
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martiniano

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LOS PROBLEMAS DE APOLONIO

Los problemas de Apolonio son 10 problemas que consisten en hallar circunferencias a partir de tres condiciones que pueden ser de tres tipos diferentes:

Condición tipo P. Se conoce un punto de la circunferencia.
Condición tipo R. Se conoce una recta tangente a la circunferencia.
Condición tipo C. Se conoce una circunferencia tangente a la circunferencia.

Las tres condiciones se pueden combinar dando lugar a los diez problemas de Apolonio. A continuación comentaré por encima cada uno de los diez problemas:

PPP. Consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un triángulo.

RRR. Consiste en hallar la circunferencia inscrita a un triángulo.

PPR. Sean \( P_1 \) y \( P_2 \) los puntos y \( r \) la recta. La circunferencia que buscamos será tangente a \( r \) en \( T \). La recta \( s \) que pasa por \( P_1 \) y \( P_2 \) corta a \( r \) en \( O \), cuya potencia sobre la circunferencia que buscamos es la misma que la potencia sobre cualquier circunferencia que pasa por \( P_1 \) y \( P_2 \). Se halla entonces una circunferencia auxiliar \( C \) y una tangente por \( O \) a \( C \) en \( T' \). Por la potencia de \( O \) se tiene \( OT=OT' \) con lo que ya queda resuelto el problema, que tiene dos soluciones.


PRR. Se halla una circunferencia cualquiera tangente a las dos rectas y luego, por homotecia la circunferencia solución. También tiene dos soluciones.

PPC. Por inversión con centro en uno de los puntos se reduce a hallar las rectas tangentes a la circunferencia por un punto.

PRC. Por inversión con centro en el punto del enunciado se transforma al problema de hallar una recta tangente a dos circunferencias dadas.

PCC. Se reduce de forma idéntica al anterior.

RRC. Trazando paralelas a las rectas a una distancia igual al radio de la circunferencia, ésta se reduce a un punto y el problema queda reducido a un PRR.

RCC. Por engrosamiento y reducción se reduce a un PRC.

CCC. Dependiendo de las posiciones relativas de las circunferencias puede ser conveniente actuar de una forma u otra. En general, el problema se reduce a un PCC por reducción de una de las circunferencias. También es posible transformar una de las circunferencias a una recta por inversión, quedando un RCC. Si dos de las circunferencias fuesen secantes, se podría reducir por inversión a un RRC y si las tres tuviesen un punto en común a un RRR.

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