Autor Tema: Ejercicio sobre la indicatriz de Euler.

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18 Enero, 2018, 09:09 pm
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Juan Pablo Sancho

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Para una revisión:

\( \displaystyle \varphi(n) = n \cdot \prod_{p|n} (1-\dfrac{1}{p})  \) donde los \(  p  \) son los primos diferentes que dividen \( n \).

Sea \(  \varphi  \) la función indicatriz de Euler demostrar que:

Si \(  a|b  \) entonces \( \varphi(a)|\varphi(b)  \) donde  \( d = mcd(a,c)  \)

Sea \( b= ac \) Entonces:

\( \displaystyle \varphi(b) = ac\cdot \prod_{p|a} (1-\dfrac{1}{p}) \cdot \prod_{p|(c/d)} (1-\dfrac{1}{p}) =  \varphi(a) \cdot  c \prod_{p|(c/d)} (1-\dfrac{1}{p})  \)

Saludos.


Editado

Falta decir que en este caso \( a,b \in \mathbb{N}  \)

Si \( c = 1  \) entonces \( \varphi(b) = \varphi(a) = \varphi(a) \cdot 1  \)

Editado

La indicatriz de Euler se define como:

\( \varphi(1)=1  \)

Si \(  n > 1  \) entonces \( \varphi(n)  \) es el número de primos relativos con \( n  \) y menores que \( n \)

\( \varphi(3) = 2  \) .

\( \varphi(6) = 2  \) por ser \(  mcd(1,6) = mcd(5,6)=1  \)