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¿Es valida esta demostración? No estoy seguro de que lo escrito lineas abajo sea correcto.
Sea \( V \) un \( D \)-espacio vectorial.
Llamemos \( X \) al conjunto de todo los subconjutos cuyos elementos son linealmente independientes.
Llamemos \( C \) a cualquier cadena en \( X \), donde el \( \leq{} \) será \( \subseteq{} \) (además, \( C\subseteq{X} \)).
Llamemos \( T=\cup_{A\in C}A \).
\( T \) es linealmente independiente pues dado unos \( a_i,...,a_n\in D \) y unos \( \alpha_1,...,\alpha_n\in T \) si \( a_1.\alpha_1+...+a_n.\alpha_n=0 \)
sabemos que cada \( \alpha_i\in A_i \) ,entonces debe existir un \( A_j\in C \) tal que todo \( \alpha_i \in A_j \) para \( 1\leq{i}\leq{n} \).
*Un ejemplo de este \( A_j \) es la unión de todo los \( A_i \) es decir \( A_j=A_1\cup...\cup A_n \) (pero no debe ser el único necesariamente)
Ahora como \( A_j\in C \) entonces \( A_j\in X \), es decir que todo los \( \alpha_i\in A_j \) son linealmente independientes en \( V \).
Por lo tanto \( a_1=0,...,a_n=0 \) y esto prueba que T es linealmente independiente.
\( T \) es una cota superior de \( C \), pues para cualquier \( A\in C \) entonces \( A \subseteq{T} \) (por definición de unión).
Entonces hemos formado las condiciones para aplicar el lema de Zorn.
Es decir existe un conjunto maximal, y esta será nuestra base.
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Hola. Repasando el libro de Taylor, Ecuaciones diferenciales parciales, volumen I, me topé con que la derivada parcial \( D_j \) cumple que \(  D_j:H^{s}\to H^{s-1} \) donde \( H^{s}:=\left\{u\in S':\langle \xi \rangle u\in L^2\right\} \), \( \langle \xi\rangle:=(1+|\xi|^2)^{1/2} \) (todo sobre \( \mathbb{R}^n) \)
¿Cómo se puede probar esto?
Sé que debería probar que \( \langle \xi\rangle ^{s-1}D_j{u}\in L^2  \) cuando \( \langle \xi\rangle^{s}u\in L^2 \). Es decir, se debe comprobar que \( \int |\langle \xi\rangle^{s-1} |^2 |D_j{u}|^2<\infty. \) Mi idea era usar integración por partes pero no logré aplicarlo.
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Hola guzmanandres, bienvenido al foro.

He editado tu mensaje para que las fórmulas se generen correctamente (faltaba encerrarlas entre [tex] y [/tex]). Para dudas sobre escritura de fórmulas, revisa este enlace.

El problema se resuelve con el primer método que se ve en EDO, separación de variables. Escribiendo \( x'(t)=\dfrac{dx}{dt} \), tu edo queda

    \( \dfrac{dx}{dt}=k(a-x)(b-x) \)

de donde

    \( \dfrac{dx}{k(a-x)(b-x)}=dt \)

quedando

    \( \displaystyle\int\dfrac{1}{k(a-x)(b-x)}dx=\int dt+C \)

así es el método. Entonces, a la izquierda de la igualdad debes calcular la integral con respecto de \( x \), y a la derecha la integral con respecto de \( t \). La integral con respecto de \( t \) es claramente \( t \), y para la integral con respecto de \( x \) puedes usar descomposición en suma de fracciones parciales y luego una sustitución. Como aparecerán logaritmos en la integral, habrá que analizar para qué valores de \( x \) tiene sentido la expresión. Pero primero es hallar la expresión, y luego analizarla.

Luego de hacer esto reemplazas \( x(0)=x_0 \), con eso tienes la parte (1).

Si quieres haces las cuentas acá y las discutimos.
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Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales / Re: Equipotencia entre conjuntos
« Último mensaje por Dark en Hoy a las 05:17 am »

El ejercicio entonces pide construir una biyección entre el conjunto \( X \) de aplicaciones \( A\to \{0,1\} \) y el conjunto de partes \( P(A) \).

Basta definir:

\( \phi:X\to P(A) \)

de la siguiente forma: dada \( f:A\to \{0,1\} \), \( \phi(f)=f^{-1}(\{1\}) \).

La inversa lleva \( B\subset A \) en la función:

\( f:A\to\{0,1\},\quad f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in B\\0 & \text{si}& x\not\in B\end{cases} \)

Saludos.

Es correcto el siguiente argumento para probar la inyectividad de esa función:

\begin{align*}
F(f)=F(g)&\Longrightarrow f^{-1}(0)=g^{-1}(0)\\ &\Longrightarrow (f^{-1}(0))^{-1}=(g^{-1}(0))^{-1}\\ &\Longrightarrow (f^{-1})^{-1}(0)=(g^{-1})^{-1}(0)\\ &\Longrightarrow f(0)=g(0)\qquad \mbox{me queda la duda, si de aquí puedo concluir que}\\ &\Longrightarrow f=g
\end{align*}
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Dudas y sugerencias del foro / Re: ¿Qué es el Karma?
« Último mensaje por mathtruco en Hoy a las 05:03 am »
Hola, como están.

No entiendo porque tengo un "-1"  :'(. ¿Sera porque no explico bien mis preguntas? ¿O no me doy a entender bien? Tampoco me ha llegado un correo de porque me asignaron un punto negativo...

Muchas Gracias.

Hola Julio_fmat, te enviaré un mensaje privado con la explicación.
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Álgebra / Ejercicios transformaciones lineales
« Último mensaje por nangiurg en Hoy a las 02:53 am »
Hola, estoy queriendo resolver unos ejercicios de transformaciones lineales y quería ver si me pueden ayudar. Muchas gracias.

Ejercicio 1
Sea:
S = gen { ( 4 ; 2k - 6 ; 2 ) , ( k ; 9 ; 3 ) } \subset{R^3}
a) Halle los valores de k para los cuales existe una T. L. T : R3 → R2 tal que T es
un epimorfismo y Nu ( T ) = S .
b) Para alguno de los valores de k hallados, defina una transformación lineal T
que cumpla con las condiciones pedidas .

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Ejercicio 2
Sea T : R^3 → R^2  /M_B1B2\begin{bmatrix}{a}&{1}&{2}\\{-1}&{0}&{1}\end{bmatrix}
Siendo: B1 = {(1, 0, 0), (0, -3, 1), (0, 0, -2)},
B2 = { (2, 0), (0, -1) }
a) Halle a \in{R} , si existe, para que T( 2, 0, 1) = (1,5/2).
b) ¿Existe a \in{R} para que T sea isomorfismo?

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Ejercicio 3
Sea B1 = {(1, 0, 0), (0, -1, 1), (1, 1, 1)} una base de R3 y la transformación lineal :
F: R3 → R3 tal que:
F(1, 0, 0) = (2h, k+1, 0) , F(0, -1, 1) = ( 4h, 2k, 0) y F(1, 1, 1) = (0, k2 – 4, 2h)
¿Es posible hallar h y k reales para que A =\begin{bmatrix}{1}&{2}&{0}\\{3}&{4}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix} sea la matriz M_BE(F)?.
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Álgebra / Re: Cadenas de Markov Raton
« Último mensaje por africa en Hoy a las 01:36 am »
Gracias por la ayuda me quedo mucho mas claro, voy hacerlo ahora  :) :) :) :)
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Hola

Me resulta muy extraño reste problema, por como esta planteado, supongo que al dar una sola coordenada de cada punto colineal es porque entiendo que se han elegido los ejes de tal forma que uno coincida con la recta que pasa por ellos y por eso las otras componentes son cero.

Está trabajando con sistemas de referencia en la recta. Igual que en plano un sistema de referencia queda determinado por un punto y dos vectores, en dimensión uno, un sistema de referencia queda determinado por pun punto y un vector.

Si llamo \( \sigma,\lambda,\mu \) a las coordenadas de un punto en cada referencia las ecuaciones de cambio de referencia son de la forma:

\( \lambda=a\sigma+b \)
\( \mu=c\lambda+d \)
\( \mu=ac\sigma+ad+b \)

con \( a,b,c,d \) números reales.

De los datos dados sabemos que:

\( -6=-4a+b \)
\( 4=-2ac+ad+b \)
\( 7=-3c+d \)

Pero o me pierdo algo o faltan datos para poder hallar las cuatro incógnitas y responder a la relación exacta entre las tres referencias.

Saludos.
Si , al final lo he interpretado como dices, pero coincido contigo que faltan datos.
Si se tratan de sistemas que tienen el mismo punto de origen de referencia, entonces si se puede resolver, pero como dije al final de mi segundo mensaje los datos no son congruentes entre si (lo he movido pues por equivocación lo puse por error en mi primer mensaje). no se guarda proporcionalidad entre sistemas de referencia ( en este caso se darían datos de más y son contradictorios, al menos eso es lo que pienso)
Saludos.
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Probabilidad / Re: Consulta en ejercicio probabilidad condicionada
« Último mensaje por manuvier en Ayer a las 11:18 pm »
gracias
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Hola

Han pasado algunos días que dejé inconcluso este tema, pero se debió a que aún no he encontrado una respuesta en libros a lo siguiente.

Teníamos en la última respuesta que  \( f(\vec{x})=A'+M(\vec{x}-A) \)         o       \( f(\vec{x})=A'-MA+M(\vec{x}) \).

Lo le pongas la flechita a la \( x \).

Hablamos de una tranformación afín que lleva PUNTOS en PUNTOS.

Citar
Sé que una transformación lineal señala que :

\( f(\vec{x})=B\vec{x} \), donde \( B \), es la matriz transformación lineal que traslada un vector a otro vector que ambos parten del origen.

Si, pero aquí hablamos de afín.

Citar
Pero quisiera saber por favor:

                                           ¿Cuál es la diferencia entre llevar un punto de \( A \) a \( A' \)  y llevar un vector de \( B \) a \( B' \)? (o más bien que significa llevar un punto de  \( A \) a \( A' \))?

Una transformación afín es de la forma \( f(X)=P+MX \). Sobre vectores sólo actúa la matriz \( M \) ya que si tomas el vector que une los puntos \( X,X' \) su imagen une los puntos f\( (X),f(X'). \) Pero:

\( f(X')-f(X)=(P+MX')-(P+MX)=M(X-X') \)

Que lleve el punto \( A \) en \( A' \) simplemente es que:

\( f(A')=A\quad \Longleftrightarrow{}\quad P+MA'=A \)

Citar
                                           ¿Qué relación hay entre la ecuación  \( f(\vec{x})=A'+M(\vec{x}-A) \)   y     \( f(\vec{x})=M\vec{x}+\vec{b} \).?

Si operas la primera te queda:

\( f(X)=\underbrace{A'-MA}_P+MX \)

es decir es el formato standard de una transformación afín. La escribo así:

\( f(X)=A'+M(X-A) \)

porque eso garantiza que \( f(A)=A' \) ya que:

\( f(X)=A'+M(A-A)=A'+M0=A' \)

Saludos.
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