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Temas - Juan Pablo Sancho

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Sacado de este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=50722.msg201048#msg201048

Que tiene el siguiente documento:

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1110/1110.1556v1.pdf


 


Para el dos usando otra sugerencia que no son la derivadas más bien la división del intervalo en partes iguales (sacada del Spivak).

Encuentra todas las funciones \(  \displaystyle f(x) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}  \) cumpliendo que para todo \(  x,y \in \mathbb{R}  \) se tiene:

\(  f(x) - f(y) \leq (x-y)^2  \)


Spoiler
Primero de todo:

Sean \(  x ,y \in \mathbb{R}  \)

1.) \( f(x) - f(y) \leq (x-y)^2  \)

2.) \( f(y) - f(x) \leq (y-x)^2 = (x-y)^2  \)

De uno y dos:

\(  (x-y)^2 \geq |f(x) - f(y)|  \)

Dados dos puntos cualesquiera \(  x,y  \)


Sea \(  a_0 = x  \) y \(  a_i = x + i \cdot \dfrac{y-x}{n}  \) si el intervalos se dividió en \(  n  \) trozos iguales.

\( {\displaystyle |f(y) - f(x)| = |f(a_n) - f(a_0)| = |\sum_{i=1}^n f(a_i) - f(a_{i-1})| \leq  \sum_{i=1}^n |f(a_i) - f(a_{i-1})| \leq \sum_{i=1}^n (a_i - a_{i-1})^2 = \sum_{i=1}^n (\frac{y-x}{n})^2 = \frac{(y-x)^2}{n} }  \)

Entonces para todo \(  n \in \mathbb{N}  \) tenemos:

\( \displaystyle  |f(x) - f(y)| \leq \frac{(y-x)^2}{n}  \)


Entonces son las funciones constantes


El enunciado en el Spivak:



Supóngase que \(  f(y) - f(x) \leq (y-x)^2  \)para todo \(  x,y  \).(¿Por qué esto implica \(  |f(x) - f(y)|\leq (y-x)^2 {\red ?) } \). Demostrar que \(  f  \) es una constante.

Indicación: Divídase el intervalo \(  [x,y]  \) en \(  n  \) partes iguales.

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Dudas y sugerencias del foro / Búsqueda de hilos mediante foreros
« en: 21 Junio, 2015, 06:44 am »
No se si está la opción que voy a decir pero si no está podría ser una buena opción de búsqueda, que si pones dos o tres foreros (o más) salgan los hilos en común.

Hay veces que no encuentras un hilo pero sabes que dos personas intervinieron.

Sería algo como mostrar los últimos mensajes de estos usuario.

Supongo que debe ser un trabajo titánico pero por pedir que no quede.

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Teoría de números / Probar que los denominadores son diferentes.
« en: 24 Abril, 2015, 09:49 pm »
\(  {\red Editado 2} \)



Una revisión para esta duda.

Probemos que para \(  n > 1  \):

\( \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \frac{p}{m}  \) con \(  1 = (p,m)  \) entonces \( m \neq n+1 \)

Para \(  n= 2  \) tenemos \( \displaystyle \sum_{i=1}^2 \frac{1}{i} = \frac{3}{2}  \) y \(  2 \neq 3  \).

Supongamos cierto hasta \(  k = n  \) :

\( \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = \frac{p}{m}  \) con \(  1 = (p,m)  \) y \( m \neq n+1 \)

Probemos el siguiente paso:

\( \displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{i} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} + \frac{1}{n+1}  = \frac{p}{m} + \frac{1}{n+1} =  \)

\( \displaystyle = \frac{(n+1) \cdot p + m}{m \cdot (n+1)}  = \frac{p'}{m' \cdot (n+1)'}  \) con \( (p',m' \cdot (n+1)') = 1 \)

Supongamos:


\(  m' \cdot (n+1)' = n+2  \)

Caso 1:Sí  \( (n+1)' > 1 \) no puede ser por que \(  (n+2 , n+1) = 1 \).

Caso 2:Sí  \( (n+1)' = 1 \) entonces \( n+1|m \) por \( n+1|n+1 \) y \( n+1| (n+1) \cdot p + m) \) entonces \( m = (n+1) \cdot q \)

Quedaría \( m = (n+1) \cdot q = (n+2) \) que no puede ser por la misma razón que el caso 1.

Gracias por anticipado.

Si algún punto no está claro sólo hay que postear.

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Alguna pista para la demostración del siguiente teorema:

Sea p un primo impar. Entonces cualquier divisor primo q de M(p), si existe, es de la forma \(  q = 2\cdot k \cdot p + 1  \)



He intentado poner  \( M(p)  \) como \(  2 \cdot K \cdot p + 1  \) mediante el teorema de la división para luego alegar que sus factores primos deberían tener esa forma pero nada.



Me ha salido en un libro de matemática discreta.

\(  M(p)  \) es un número de Mersenne.

\(  {\red Editado}  \)

\(  M(p) = 2^p - 1  \)

Gracias anticipadas y como siempre no hay prisa.   

27
Análisis Matemático / Otra demostración de una integral conocida.
« en: 19 Octubre, 2014, 08:24 am »
La integral \(  \displaystyle   \int_{2 \cdot \pi}^{+\infty} \frac{sen(x)}{x} dx  \)   existe en sentido Riemann.

Pongo una demostración que puede ser más larga que la habitual, sólo es para saber si está bien.

\(  \displaystyle   \int_{2 \cdot \pi}^{p} \frac{sen(x)}{x} dx = \int_{2 \cdot \pi}^{n \cdot \pi} \frac{sen(x)}{x} dx + \int_{n \cdot \pi}^{p} \frac{sen(x)}{x} dx  \)  

Donde:

\(    p = n \cdot \pi + r  \)   entendiendo como si fuera una división euclidea.


Para \(    k \geq 2  \)   tenemos:

\(    \displaystyle \int_{k\cdot \pi}^{ (k+1) \cdot \pi} |\frac{sen(x)}{x}| dx = a_k > 0   \)  

Además se tiene que \(    \displaystyle \int_{k\cdot \pi}^{  (k+1) \cdot \pi} |\frac{sen(x)}{x}| dx < \frac{\pi}{k} \)  

Tenemos \(    a_{k+1} < a_k  \)   decreciente.(esto es facil de demostrar)

El límite de \(    a_n  \)   es cero (esto es por el siguiente argumento).

\(    |\int_{n \cdot \pi}^p \frac{sen(x)}{x} dx | \leq  |\int_{n \cdot \pi}^{(n+1) \cdot \pi} } \frac{sen(x)}{x} dx | <  \frac{\pi}{n}  \)  

Para \(    p > 2 \cdot \pi  \)   tenemos:

\(    \int_{2 \cdot \pi}^p \frac{sen(x)}{x} dx = \sum_{i=2}^{n-1} (-1)^i a_i + \int_{ n \cdot \pi}^p \frac{sen(x)}{x}dx  \)  


Finalmente:

\(   \displaystyle \lim_{p \to +\infty} \int_{2 \cdot \pi}^p \frac{sen(x)}{x} dx  = \lim_{p \to +\infty} \sum_{i=2}^{n-1} (-1)^i a_i + \lim_{p \to +\infty} \int_{ n \cdot \pi}^p \frac{sen(x)}{x}dx =  \)  

\(    \displaystyle = \lim_{p \to +\infty} \sum_{i=2}^{n-1} (-1)^i a_i  \)  


Y este último límite existe por ser una serie de Leibniz.


No corre ninguna prisa sólo es por ver si está bien o si he tenido algún error en la demostración.

Es muy tarde o muy pronto mañana vere el desastre ;D

Saludos.

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Foro general / Búsqueda de libros básicos
« en: 12 Mayo, 2014, 09:50 am »
Estoy empezando con en álgebra, trigonometría y geometría.
Me gustaría empezar de cero y digo a nivel de "EGB" o "Primaria".
Buscando por el rastrillo hace mucho  tiempo vi.  
Elementos de trigonometría de G.M.Bruño.
Elementos de geometría de G.M.Bruño.
Algebra de Cirodde
Los únicos que apunté.

Son muy viejos  como yo.


Son buenos o me recomendáis otros.

Hace tiempo (" 14 años  ") que no voy al rastrillo para adquirir un libro.

Por si alguno citado  vale la pena se hará el esfuerzo de ir al rastrillo, por si los puedo volver ha encontrar.

Gracias al foro por cualquier respuesta.

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Foro general / Archivos adjuntos en mensajes privados
« en: 02 Mayo, 2014, 06:59 am »
¿En un mensaje privado no se pueden enviar archivos ?

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Sólo es un problema que estoy intentando no tiene prisa, solo quiero saber sí está bien y alguna sugerencia para mejorarlo.
Gracias por cualquier sugerencia.

Supóngase que es \(  f'(x) \geq M > 0  \) para todos los \(  x \in [0,1]  \). Demostrar que existe
un intervalo de longitud \(  \dfrac{1}{4}  \) en el que es \(  |f| \geq \dfrac{M}{4}  \).
Spoiler

Definimos \(  g(x) = f(x) - M \cdot x  \).
Como \(  g'(x) = f'(x) - M \geq 0  \) tenemos \(  g  \) es no decreciente.

Caso (1): \(  f(0) \leq 0  \).

      (1.1)  \(  g(x_0) = 0 \wedge x_0 \in [0,\dfrac{1}{2}]  \).
             \(  g(\dfrac{3}{4}) - g(x_0) \geq g(\dfrac{3}{4}) - g(\dfrac{1}{2}) = f(\dfrac{3}{4}) -\dfrac{3 \cdot M}{4} - f(\dfrac{1}{2}) + \dfrac{M}{2} =  \)
             \(  = (f(\dfrac{3}{4}) - f(\dfrac{1}{2})) -\dfrac{3 \cdot M}{4}  + \dfrac{2\cdot M}{4} = (f(\dfrac{3}{4}) - f(\dfrac{1}{2})) -  \dfrac{M}{4}  \).
             Tenemos que:
             \(   f(\dfrac{3}{4}) =  f(\dfrac{1}{2}) +  \dfrac{M}{4} \geq \dfrac{M}{4}   \).
             Por ser \(  f(\dfrac{1}{2})  \) positiva.
             \(  g(\dfrac{1}{2}) \geq g(x_0) =0  \).
             
        (1.2) \(  g(x_0) = 0 \wedge x_0 \in ]\dfrac{1}{2},1]  \).     
              Tenemos que en este caso \(  f(\dfrac{1}{2}) \leq 0  \) en consecuencia \(  -f(\dfrac{1}{2}) \geq 0  \)
              \(  -g(\dfrac{1}{4}) + g(x_0) \geq  -g(\dfrac{1}{4}) + g(\dfrac{1}{2}) = -f(\dfrac{1}{4})+\dfrac{M}{4} + f(\dfrac{1}{2}) -\dfrac{M}{2} =  \).
              \(  (-f(\dfrac{1}{4}) + f(\dfrac{1}{2})) -\dfrac{M}{4} \geq 0  \)
              \(  -f(\dfrac{1}{4})  \geq   -f(\dfrac{1}{2}))  +\dfrac{M}{4} \geq \dfrac{M}{4}  \).
             
        (1.3) \(  g \neq 0 \ \ \ \ \ \forall x \in [0,1]  \).
              \( -g(\dfrac{1}{4}) + g(1)>0  \) entonces:
              \(  -f(\dfrac{1}{4}) +\dfrac{M}{4} + f(1) - M >0  \).
              \(  -f(\dfrac{1}{4}) > \dfrac{3M}{4} - f(1) > \dfrac{3M}{4}  \)
             
caso (2): \(  f(0) > 0  \).
              \(  g(\dfrac{1}{4})= f(\dfrac{1}{4}) - \dfrac{M}{4} > 0  \).
   
 
[cerrar]
         

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\(   {\red Corregido }  \).
Libros introductorios.

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Foro general / Tecnología cero ¿cómo empezar?
« en: 16 Marzo, 2014, 04:21 am »
¿Cómo podriamos empezar de cero ?.
Una pregunta que  da un poco o bastante miedo.

De ir desnudos en una isla a poder crear ordenadores.

Sólo es una cuestión personal, sí responden que sean respuestas científicas no políticas ni ideológicas.

Spoiler

Que no se ofenda nadie por el último comentario.
Simplemente por que no tengo afiliación política ni ideológica.
[cerrar]

Una vez advertí en un documental que sí hubiera un cataclismo tardariamos unos 2.000 años en volver ha empezar, me pareció demasiados años, hoy creo que no tantos.

Sí los moderadores les parece no oportuno el tema ( y lo entiendo) sólo con quitarlo desaparece el problema.



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\(  {\red CORREGIDO }  \).

Para que queden bonitas, no se si me explico bién :-\.
Al poner  las citas, sólo puedo escurecer los comentarios de los demás.
Muchas gracias por anticipado.

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