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Temas - Frankie

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Combinatoria / 15 amigos, 4 coches con 4 plazas cada coche
« en: 23 Diciembre, 2020, 06:42 pm »
Buenas tardes,

Se me han planteado los siguientes ejercicios, a los cuales les adjunto también mi respuesta sin saber si es correcta. Me ayudaría bastante si me pudiesen decir si voy bien encaminado o no:

15 amigos quieren hacer un viaje. Tienen cuatro coches, con cuatro plazas cada uno. ¿De cuántas formas se pueden distribuir en los coches?
Tenemos un conjunto con 16 asientos, los 16 asientos en total de los cuatro coches y un conjunto de 15 personas que deben seleccionar uno de los asientos.

La primera persona, puede elegir entre los 16 asientos disponibles. La segunda persona, solo podrá elegir entre 15 asientos, ya que uno de ellos habrá sido ocupado previamente por otra persona. La siguiente persona, tendrá que elegir entre 14 asientos disponibles.

Siguiendo este razonamiento, tenemos que el número de formas de distribuir a las 15 personas entre los 16 asientos es:

\( 16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2 = 16! \)

Supongamos ahora que de los 15 sólo seis de ellos tienen carnet de conducir. ¿De cuántas formas pueden distribuirse entonces?
En primer lugar, tenemos un conjunto de 6 personas (las que tienen carnet de conducir) y otro conjunto de 4 asientos (los asientos de conductor de cada coche). Tenemos que estudiar de cuántas maneras se pueden repartir esas 6 personas entre 4 asientos.

El número de variaciones sin repetición de 6 elementos, tomados de 4 en 4 es:

\[ \displaystyle\frac{6!}{(6-4)!} = \displaystyle\frac{6!}{2!} = 360 \] formas

Ahora, tenemos un conjunto de 9 personas (las que no tienen carnet de conducir) y otro conjunto de 12 asientos (los asientos restantes). Siguiendo el mismo razonamiento, tenemos que el número de variaciones sin repetición de 12 elementos, tomados de 9 en 9 es:

\[ \displaystyle\frac{12!}{(12-9)!} = \displaystyle\frac{12!}{3!} = 79.833.600 \] formas

Muchas gracias por su tiempo,
Un saludo.

2
Buenas, se me ha planteado el siguiente problema:

Sea \( A=Z_5[x] x^4+x^3+3x^2+4 \)

Realiza en \( A \), si es posible, los siguientes cálculos:

  • \( (3x^3+4x^2+x+2)*(4x^3+x^2+2) \)
  • \( (2x^2+1)*(x^3+3x^2+2)+(2x^3+3x+3)^{-1}*(x^3+2)^2 \)
  • \( (2x^3+x^2+x+4)^{-1}*(x^3+x) \)

Lo único que se es que \( A \) tiene 625 elementos y que \( A \) no es un cuerpo, ya que \( x^4+x^3+3x^2+4 \) no es irreducible.

¿Cómo se cuándo no es posible realizar esos cálculos?

Además, también me piden lo siguiente:

Calcula un elemento \( a \in{A} \) tal que:

  • \( (x^3+x+2)(a+x) = a(4x^3+4x^2+3)+(x^2+1) \)

En este último no sé cómo proceder. ¿Me echan una mano?

Muchas gracias de antemano.

3
Álgebra y Aritmética Básicas / Factorización de un polinomio
« en: 17 Noviembre, 2020, 07:41 pm »
Buenas tardes. Se me ha pedido que factorice el siguiente polinomio:

\( p(x) = x^8+x^6+x^3+x^2+x+1 \) en \( Z_2[x] \)

Para comenzar el problema, he buscado los divisores de grado 1. He aplicado el algoritmo de Horner para hacer esto, obteniendo que \( x=1 \) es una raíz doble, y obteniendo también el siguiente polinomio:

\( x^6+x^5+x^4+x^3+x^2 \)

Como ya no tiene mas divisores de grado uno, pruebo a encontrar divisores de grado 2. Como el único polinomio irreducible de grado 2 en \( Z_2[x] \) es \( x^2+x+1 \), aplico el algoritmo de Horner de nuevo para hacer la división, obteniendo el siguiente polinomio:

\( x^4+x \) (y de resto \( x \)).

Mi pregunta ahora es la siguiente. Con este polinomio que he obtenido, ¿puedo volver a buscar raíces de grado 1? ¿O tengo que seguir dividiendo por el polinomio irreducible de grado 2?

Muchas gracias de antemano.

4
Buenas, se me ha planteado el siguiente problema:

\( 19^{470}x \equiv{21 mod 53} \)

No tengo mucha idea de por dónde empezar. ¿Me echan una mano?

5
Buenas tardes. Se me ha planteado el siguiente problema de artimética entera y modular:

Tenemos tres garrafas, con capacidades de 21, 35 y 45 litros. Vamos a una fuente a por agua, y queremos traer 17 litros. Antes de salir, nos piden que traigamos además 9 litros. ¿Sería posible, en un solo viaje, regrasar con 17 litros en una garrafa y 9 en la otra? Caso de ser posible, explica el procedimiento para lograrlo.

Entiendo correctamente el problema y antes de proceder a resolverlo he planteado el siguiente sistema de congruencias:

\( 21x + 35y + 45z \equiv{h} mód 17 \)
\( 21x + 35y + 45z \equiv{h mód 9} \)

No estoy seguro de haber planteado el sistema correctamente. ¿Me podrían echar una mano?

Muchas gracias de antemano.

6
Buenas, estoy estudiando el método de la Programación Dinámica y téoricamente todo me queda muy claro, incluido el Principio de Optimalidad de Bellman.

El problema viene cuando me ponen un problema, y verifique si se cumple el Principio de Optimalidad de Bellman para comprobar si se puede aplicar un enfoque de Programación Dinámica a ese problema. Ahí es donde viene mi consulta.

Por ejemplo, me piden lo siguiente: " Explicar si es posible o no aplicar Programación Dinámica al diseño de un algoritmo
para el cálculo de la sucesión de los números de Fibonacci."
.

Está claro que el cálculo de la sucesión de Fibonacci es un problema n-etápico, pero no entiendo cómo verificar que se cumple el POB para ese caso en concreto, o para cualquier otro que me den.

¿Podrían darme unos consejos para poder verificar el POB a nivel general?

7
Matemática Discreta y Algoritmos / Cálculo de una recurrencia
« en: 02 Junio, 2019, 10:37 am »
Buenas, estoy ante un problema que dice así:

El tiempo de ejecución de un algoritmo A está descrito por la recurrencia:
\( T(n) = 7T(n/2) + n^2 \)

otro algoritmo B tiene un tiempo de ejecución dado por:
\( T'(n) = aT' (n/4) + n^2 \)

¿cuál es el mayor valor de la constante a que hace a B asintóticamente más rápido que A?

He procedido a resolver la primera recurrencia:

Cambio de variable \( n= 2^k \)
\(
T(2^k) = 7T(2^{k-1}) + 4^k \)
\( T_k = 7_{Tk-1} + 4^k \)

Raíces \( (x-7)(x-4) = 0 \rightarrow{c_1 7^k + c_2 4^k} \)
Resultado \( c_1 7^{lg n} + c_2 n^2 \)

Para la segunda he aplicado el mismo procedimiento

Cambio de variable \( n= 4^k \)
\(
T'(4^k) = aT'(4^{k-1}) + 16^k \)
\( T'_k = a_{T'k-1} + 16^k \)

Raíces \( (x-a)(x-16) = 0 \rightarrow{c_1 a^k + c_2 16^k} \)
Resultado \( c_1 a^{lg n} + c_2 n^2 \)

Mi idea ahora es igualar las dos ecuaciones, quedando lo siguiente después de despejar:
\( 7^{lg n} = a^{lg n} \)

A raíz de aquí no se seguir, no encuentro la forma de despejar esa ecuación tan simple... Perdón por la duda tan tonta.

8
Buenas tardes,

He estado buscando por todas partes pero no encuentro cuál es la diferencia del método destructivo del método de Kruskal al constructivo. Hasta donde yo tenía entendido, el método de Kruskal era ir cogiendo las aristas de menor peso a mayor sin formar ciclos, y una vez alcanzados todos los vértices, construir el grafo de peso mínimo resultante.

¿Qué es entonces el método destructivo y el constructivo?

9
Lógica / Duda con respecto al método de los consensos
« en: 15 Junio, 2018, 05:51 pm »
Hay un ejercicio que dice así;

Sean \( f_i : B^3 \longrightarrow{B} \) las funciones booleanas de tres variables con \( i=82, 104, 126, 143, 188, 217, 231 \), halla:
a) Sus formas canónicas disyuntivas y conjuntivas
b) Sus implicantes primos mediante Quine, consensos, FCC y Karnaugh
c) Sus formas canónicas disyuntivas reducidas
d) Sus formas no simplificables por Karnaugh y Petrick

He hecho \( f_{82} \), obteniendo que su forma canónica disyuntiva es: \( \bar{x}\bar{y}\bar{z} + \bar{x}\bar{y}z + x\bar{y}z \), y la conjuntiva: \( (\bar{x} + y + \bar{z})(x + \bar{y} + \bar{z})(x + y + \bar{z})(x + y + z) \).

El problema está en que no sé cómo realizar el método de los consensos partiendo de alguna de esas dos formas, ya que por ejemplo en la disyuntiva no hay ningún término que pueda absorber a otro. Me ha pasado el mismo problema con \( f_{188} \) y no sé si es que no se puede hacer, o que no sé yo por dónde pillarlo.

Gracias de antemano.

10
Buenas, tengo una duda a la hora de resolver la siguiente ecuación en recurrencia de grado tres:

\( X_n = 5X_{n-1}-8X_{n-2}+4X_{n-3} \) con \( X_0 = 1, X_1 = 1, X_2 = 2 \)

He hallado las dos raíces del polinomio característico obteniendo \( x_1 = 1, x_2 = 2 \). Según sale en mis apuntes, cuando el número de raíces del polinomio característico sea menor que el orden de la relación, la sucesión \( n^{r-1}x^n \) es solución de la ecuación, con \( x \) una raíz de multiplicidad \( r \).

Por tanto, directamente, la solución de esa ecuación de recurrencia sería \( x_n = 1^n + 2^n \). ¿Estoy en lo correcto? Me encuentro algo confundido.

¡Gracias de antemano!

11
Hola a todos y feliz Semana Santa.

Estoy atrancado en un ejercicio, que consiste en demostrar mediante el método de inducción la siguiente propiedad:

\( \forall{n \geq{1}} \),

\( \sum_{k=1}^n k^5 + \sum_{k=1}^n k^7 = 2(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2})^4 \)

No sé por dónde empezar. Gracias y un saludo.

12
Buenas con un ejercicio más de álgebra. Dice así;

Da una aplicación lineal \( f:\mathbb{Q^3} \longrightarrow{\mathbb{Q^3}} \) que verifique que el vector \( (1,2,-1) \) pertenece al núcleo de \( f \), que \( f(1,-1,0)=(3,1,2) \) y que \( Im(f) \) sea el subespacio de ecuación: \( x-y-z=0 \).

Calculo la matriz de la aplicación \( f \) respecto a la base canónica.

Gracias de antemano :)

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Álgebra / Dividir un polinomio entre otro
« en: 12 Febrero, 2018, 07:43 pm »
\geq{}Hola de nuevo,

El ejercicio dice así;

Calcula el resto de dividir \( x^{17}+2 \) entre \( x+4 \) en \( \mathbb{Z_5} \).

He comenzado de la siguiente forma;
\( x+4= x-(-4) = x-1 \) en \( \mathbb{Z_5} \) acorde al teorema del resto.

También tenemos que \( mcd(1,5)=1 \) y que por lo tanto \( \exists{l \in{\mathbb{N \geq{1}}}} | 1^l \equiv{1 mód 5} \)

No sé si voy bien encaminado, ya que cualquier \( l \) cumpliría esa condición, y desde aquí ya no sé seguir...

Espero que me puedan ayudar a partir de aquí. ¡Gracias de antemano!

14
Álgebra / Calcula la tres últimas cifras de \(16^{3152}\) en base 3
« en: 12 Febrero, 2018, 11:04 am »
Hola,

Un nuevo problema de álgebra que dice así;

Calcula las tres últimas cifras de \( 16^{3152} \) en base 3.

Tengo algo de idea de por dónde empezar, pero no sé cómo seguir...

¡Gracias de antemano!

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Álgebra / Ecuación diofántica y calcular suma más próxima a 1000
« en: 11 Febrero, 2018, 08:01 pm »
El ejercicio es el siguiente;

Dada la ecuación \( 9257x + 8610y = 10 \), di si tiene solución y en caso afirmativo, calcula aquella cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Con el algoritmo extendido de Euclides he obtenido que el \( mcd(9257,8610) = 1 \) y los coeficientes de Bezout son \( x=173 \) e \( y=-186 \). El problema viene en la segunda parte del problema, no sé cómo proceder para encontrar una solución cuya suma tenga un valor más cercano a 1000.

Gracias de antemano.

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Álgebra / Ejercicio sobre conjunto cociente
« en: 11 Febrero, 2018, 11:54 am »
Hola, un ejercicio sobre conjunto cociente que dice así:

Sobre el conjunto \( \mathbb{R} x \mathbb{R} \) definimos la relación \( (a,b) R (c,d) \) si \( a^2+b^2=c^2+d^2 \). Describir el conjunto cociente y dar una interpretación geométrica del mismo.

Tengo una ligera idea de cómo hacerlo. Es más, he encontrado este ejercicio parecido resuelto por internet pero llega a unas conclusiones muy raras que no llego a entender. Espero que me puedan ayudar.

Gracias de antemano.

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Un ejercicio que dice;

Determinar y justificar el número de soluciones de la siguiente ecuación en \( [-1,1] \)

\( arccos(x)=3/2 - x \)

Tengo alguna idea de cómo hacerlo pero no sé si está bien...

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Buenas tardes,

Mis profesores subieron un PDF con el examen de final de curso resuelto de Cálculo del Grado en Ingeniería Informática. Os lo dejo aquí por si a alguien le sirve de ayuda. El examen contiene los siguientes contenidos;

1. Determinar dominio e imagen de una función
2. Dos límites, uno de la forma \( 1^\infty \) y otro para aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo
3. Polinomio de Taylor con error
4. Dos integrales
5. Estudiar convergencia y en su caso, límite de una sucesión
6. Estudiar la convergencia de una serie

Es un exámen bastante completo para mi gusto. Engloba casi todo lo que se ha dado durante el curso.

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¡Hola! Un último ejercicio antes del examen, esta vez es de series y sucesiones y dice así;

Calcular la suma de la serie de números reales:
\( \displaystyle\sum_{n=2}^\infty{2^n-1\over5^{n+1}} \)

Gracias de antemano :)

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Análisis Matemático / Calcular la imagen de una función
« en: 16 Enero, 2018, 10:05 am »
Buenos días. Mañana tengo exámen de cálculo y la verdad es que voy un poco apurado. Necesitaría ayuda para resolver este ejercicio que dice así;

Calcular la imagen de la función \( f : \mathbb{R} \longrightarrow{} \mathbb{R} \) definida por;
\( f(x) =  2arctan(x) - 2x + log(x^2+1)  \), para \( x \in{\mathbb{R}} \) (cabe decir que es un logaritmo neperiano)

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación \( f(x) = 0 \)?

Hice una deducción en principio pero no sé si es correcta. Como \( arctan(x), 2x \) y \( log(x^2+1) \) son continuas en todo \( \mathbb{R} \), deduje así que la imagen de dicha función es por tanto todo \( \mathbb{R} \). No sé si es correcto de esa forma.

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