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Mensajes - Max B.

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Hola, tengo un problemas con la demostración de los siguiente items en especial con la a):


.) Sea \( f:\Bbb R\to \Bbb R \) una función continua tal que:

                                       \( f(x+y)=f(x)f(y) \), \( \forall{x,y\in{\Bbb R}} \)

a)Muestre que \( f(x)\geq{0} \), \( \forall{x\in{\Bbb R}} \)

b) Si existe  \( x_0\in{\Bbb R} \) tal que  \( f(x_0)=0 \), muestre que \( f(x)=0 \),\( \forall{x\in{\Bbb R}} \)


 



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Te faltaría c) \( \Rightarrow \)a). Pero supuesto c) y dado \( \epsilon>0 \) por la continuidad de las dos restricciones existem \( \delta_1,\delta_2 \) tales que:

si \( |x-x_0|<\delta_1 \) y \( x\in X\cap (a,x_0] \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).
si \( |x-x_0|<\delta_2 \) y \( x\in X\cap [x_0,b) \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).

Comprueba que tomando \( \delta=min\{\delta_1,\delta_2,x_0-a,b-x_0\} \) se tiene que:

si \( |x-x_0|<\delta \) y \( x\in X \) entonces \( |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \).

Saludos.

gracias, me ayudo a entender las primeras implicaciones pero la ultima ( c) \( \Rightarrow \)a) ), no comprendo muy bien por qué usar el \( \delta=min\{\delta_1,\delta_2,x_0-a,b-x_0\} \) en especifico el \( \delta={x_0-a} \) y \( \delta={b-x_0} \)

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Análisis Matemático / caracterización local de continuidad
« en: 10 Junio, 2021, 09:01 pm »
Hola, ¿Me podrían ayudar con la prueba de la equivalencia de esas tres proposiciones?
-No entiendo muy bien cómo probar que a) con b) y a)con c) son equivalentes. Sé que se hace por la definición de continuidad pero no sé como relacionar ambas implicancias. :'(


Caracterización local de la continuidad. Sea \( f:X\to \Bbb R \) una función definida en un conjunto \( X\subset \Bbb R \) y sea \( x_0\in X \). Dado un intervalo abierto \( (a,b) \) que contiene al punto \( x_0 \), muestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) La función \( f:X\to \Bbb R \) es continua en \( x_0 \).
b) La restricción \( f:X\cap (a,b)\to \Bbb R \) es continua en \( x_0 \).
c) Las restricciones  \( f:X\cap (a,x_0]\to \Bbb R \) y  \( f:X\cap [x_0,b)\to \Bbb R \) son continuas en \( x_0 \).

Mensaje corregido desde la administración.

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