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Mensajes - Frankie

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Combinatoria / Re: 15 amigos, 4 coches con 4 plazas cada coche
« en: 23 Diciembre, 2020, 08:24 pm »
Genial, muchas gracias.

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Combinatoria / 15 amigos, 4 coches con 4 plazas cada coche
« en: 23 Diciembre, 2020, 06:42 pm »
Buenas tardes,

Se me han planteado los siguientes ejercicios, a los cuales les adjunto también mi respuesta sin saber si es correcta. Me ayudaría bastante si me pudiesen decir si voy bien encaminado o no:

15 amigos quieren hacer un viaje. Tienen cuatro coches, con cuatro plazas cada uno. ¿De cuántas formas se pueden distribuir en los coches?
Tenemos un conjunto con 16 asientos, los 16 asientos en total de los cuatro coches y un conjunto de 15 personas que deben seleccionar uno de los asientos.

La primera persona, puede elegir entre los 16 asientos disponibles. La segunda persona, solo podrá elegir entre 15 asientos, ya que uno de ellos habrá sido ocupado previamente por otra persona. La siguiente persona, tendrá que elegir entre 14 asientos disponibles.

Siguiendo este razonamiento, tenemos que el número de formas de distribuir a las 15 personas entre los 16 asientos es:

\( 16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2 = 16! \)

Supongamos ahora que de los 15 sólo seis de ellos tienen carnet de conducir. ¿De cuántas formas pueden distribuirse entonces?
En primer lugar, tenemos un conjunto de 6 personas (las que tienen carnet de conducir) y otro conjunto de 4 asientos (los asientos de conductor de cada coche). Tenemos que estudiar de cuántas maneras se pueden repartir esas 6 personas entre 4 asientos.

El número de variaciones sin repetición de 6 elementos, tomados de 4 en 4 es:

\[ \displaystyle\frac{6!}{(6-4)!} = \displaystyle\frac{6!}{2!} = 360 \] formas

Ahora, tenemos un conjunto de 9 personas (las que no tienen carnet de conducir) y otro conjunto de 12 asientos (los asientos restantes). Siguiendo el mismo razonamiento, tenemos que el número de variaciones sin repetición de 12 elementos, tomados de 9 en 9 es:

\[ \displaystyle\frac{12!}{(12-9)!} = \displaystyle\frac{12!}{3!} = 79.833.600 \] formas

Muchas gracias por su tiempo,
Un saludo.

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Según hemos visto en clase se puede aplicar sobre cualquier polinomio. La única modificación es que si el polinomio divisor no es un polinomio mónico, habría que multiplicar el cociente por el inverso del coeficiente líder del divisor y además, en el algoritmo de Horner, los números que se ponen a la izquierda también hay que multiplicarlos por ese inverso.

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Comprendo.

Una pregunta más. ¿Por qué en este caso no se podría aplicar el algoritmo de Horner?

Muchas gracias.

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Buenas de nuevo. Rescato este tema porque tengo algunas dudas con los cálculos. Por ejemplo:

  • \( (3x^3+4x^2+x+2)*(4x^3+x^2+2) \)

Tras hacer los cálculos, obtengo el siguiente polinomio:

\( 2x^6+4x^5+x^4+2x^3+x^2+x+2 \)

¿Cómo procedo ahora? ¿Tendría que usar el algoritmo de Horner y dividir ese polinomio entre \( x^4+x^3+3x^2+4 \)? Y si es así, una vez hecho esto, ¿cuál sería ese polinomio en el anillo? ¿El cociente que me ha salido?

Muchas gracias.

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Perfecto, esas eran mis dudas. Con eso no debería de tener mucho problema, ya que solo sería multiplicar y sumar.

Para calcular el inverso se puede usar el algoritmo extendido de Euclides aunque sea más tedioso, ¿verdad?

¡Muchas gracias geómetracat!

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Buenas, se me ha planteado el siguiente problema:

Sea \( A=Z_5[x] x^4+x^3+3x^2+4 \)

Realiza en \( A \), si es posible, los siguientes cálculos:

  • \( (3x^3+4x^2+x+2)*(4x^3+x^2+2) \)
  • \( (2x^2+1)*(x^3+3x^2+2)+(2x^3+3x+3)^{-1}*(x^3+2)^2 \)
  • \( (2x^3+x^2+x+4)^{-1}*(x^3+x) \)

Lo único que se es que \( A \) tiene 625 elementos y que \( A \) no es un cuerpo, ya que \( x^4+x^3+3x^2+4 \) no es irreducible.

¿Cómo se cuándo no es posible realizar esos cálculos?

Además, también me piden lo siguiente:

Calcula un elemento \( a \in{A} \) tal que:

  • \( (x^3+x+2)(a+x) = a(4x^3+4x^2+3)+(x^2+1) \)

En este último no sé cómo proceder. ¿Me echan una mano?

Muchas gracias de antemano.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Factorización de un polinomio
« en: 17 Noviembre, 2020, 10:56 pm »
Me había fallado una suma, por eso no me salía la raíz doble. Lo he corregido al pasarlo a limpio. Estas horas de la noche no son buenas para ponerse a hacer esto...

Muchas gracias geómetracat!

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Factorización de un polinomio
« en: 17 Noviembre, 2020, 09:46 pm »
Buenas de nuevo. Me he dado cuenta de un fallo en mi resolución inicial.

\( p(x) = x^8+x^6+x^3+x^2+x+1 \) en \( Z_2[x] \)

Para comenzar el problema, he buscado los divisores de grado 1. He aplicado el algoritmo de Horner para hacer esto, obteniendo que \( x=1 \) es una raíz doble

Esto está mal, ya que al aplicar de nuevo el algoritmo de Horner, sale resto distinto de 0, por lo que tenemos una raíz simple en \( x=1 \).

Con esto me respondo a mi pregunta... A partir de aquí solo puedo comprobar con los polinomios irreducibles de los grados siguientes a 1, así que no puedo repetir una vez avanzado el proceso.

Muchas gracias a todos y disculpen las molestias!

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Álgebra y Aritmética Básicas / Factorización de un polinomio
« en: 17 Noviembre, 2020, 07:41 pm »
Buenas tardes. Se me ha pedido que factorice el siguiente polinomio:

\( p(x) = x^8+x^6+x^3+x^2+x+1 \) en \( Z_2[x] \)

Para comenzar el problema, he buscado los divisores de grado 1. He aplicado el algoritmo de Horner para hacer esto, obteniendo que \( x=1 \) es una raíz doble, y obteniendo también el siguiente polinomio:

\( x^6+x^5+x^4+x^3+x^2 \)

Como ya no tiene mas divisores de grado uno, pruebo a encontrar divisores de grado 2. Como el único polinomio irreducible de grado 2 en \( Z_2[x] \) es \( x^2+x+1 \), aplico el algoritmo de Horner de nuevo para hacer la división, obteniendo el siguiente polinomio:

\( x^4+x \) (y de resto \( x \)).

Mi pregunta ahora es la siguiente. Con este polinomio que he obtenido, ¿puedo volver a buscar raíces de grado 1? ¿O tengo que seguir dividiendo por el polinomio irreducible de grado 2?

Muchas gracias de antemano.

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Estupendo, ¡muchas gracias!

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Hola.

Una pregunta, ¿lo que te ha dicho tu profesor es que debes resolver el problema a base de ecuaciones lineales, o que debes aplicar un algoritmo que sirva para un caso general?

Si es lo primero no sé a qué se refiere. Si es lo segundo, podría ser lo que te digo del grafo. No obstante, con los datos que das, creo que va a haber que programar un ordenador para ejecutarlo.

Un saludo.

Hola martiniano. Tiene que ser con ecuaciones como las que he puesto en mi mensaje anterior, plantear una ecuación lineal y de ahí obtener una ecuación en congruencia para obtener todas las soluciones posibles al problema, aunque nos quedemos con la más fácil.

\( x=2+5k \)
\( y=7+6k+9k' \)
\( z=-6-7k-7k' \)

Según me acaba de decir mi profesor, esto que he hecho tiene sentido. No me ha dicho si está bien o mal evidentemente (puesto que este ejercicio he de resolverlo y entregarlo por mi cuenta), pero me ha dicho que es una solución que tiene sentido, y que en concreto tengo que: Llenar dos veces la garrafa de 21 litros, llenar 7 veces la garrafa de 35 litros y vaciar 6 veces la garrafa de 45, al menos para mi solución.

Ahora bien, para plantear la otra ecuación, me ha dicho que tengo que conseguir que la ecuación diofántica que plantee con el término independiente igual a 9 tenga solución. Por tanto, obtengo:

\( 21x+35y=9 \), tenemos que \( mcd(21,35)=7 \) que no divide a 9, por tanto estas dos garrafas no pueden ser.
\( 35y+45z=9 \), tenemos que \( mcd(35,45)=5 \) que tampoco divide a 9

Por descarte entonces, tengo que resolver la siguiente ecuación:
\( 21x+45z=9 \)

Estoy muy seguro de que este método de resolución es algo extraño y que muchos de ustedes no entendáis por qué hago esto... Pero si lo piensan, en el caso de que un ejercicio de este tipo apareciese en un examen, no puedo argumentar como lo hizo Richard R Richard en su mensaje, independientemente de que desde un punto de vista matemático sea correcto.

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Agradezco ambas respuestas pero es necesario para mi y para mi profesor tener un mínimo de explicación algebráica para este problema. Dicho esto, mis ecuaciones están mal planteadas.

Primeramente, habría que plantear una ecuación como sigue:

\( 21x + 35y + 45z = 17 \)

Siendo x, y, z las veces que hay que rellenar (o vaciar en caso de que sean negativas) cada una de las garrafas. La forma en la que he procedido es:

Buscar para qué valores de x la ecuación tiene solución, teniendo:

\( 35y + 45z = 17 - 21x \)

Como \( mcd(35, 45) = 5 \), tenemos que:

\[ 17-21x \equiv{0} \] \[ mód 5 \]
\( -21x\equiv{-17 mod 5} \)
\( 4x\equiv{3 mod 5} \). Multiplicamos por el inverso de \( 4 \) en \( Z(5) \) que es 4
\( x \equiv{2 mod 5} \)

Por tanto, tenemos que
\( x = 2+5k \)

Si sustituimos este valor en la ecuación original, tenemos:
\( 35y+45z = 17-21(2+5k) \)
\( 35y+45z = -25-105k \) (Dividimos entre 5)
\( 7y+9z = -5-21k \)

De aquí ya tenemos una congruencia de nuevo:

\( 7y \equiv{-5-21k mod 9} \)

Es fácil de resolver y de obtener el valor de \( y \) y posteriormente el de \( z \).

A partir de aquí no sé continuar, ya que con esos 3 valores tengo que estimar cuál de las tres garrafas se quedará con los 17 litros para luego plantear una ecuación similar a la inicial, pero con una incógnita menos ya que estaremos ocupando una garrafa.

Los valores finales que he obtenido para la primera ecuación, suponiendo que no me he equivocado, han sido:

\( x=2+5k \)
\( y=7+6k+9k' \)
\( z=-6-7k-7k' \)

Si sustituimos con \( k, k' = 0 \), tenemos \( x=2 \), \( y=7 \) y \( z=-6 \). A partir de aquí no sé proseguir.

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Había visto el error, suponía que era una errata y lo he corregido personalmente. No lo he indicado aquí porque me corría prisa por tener clase, pero lo he tenido en cuenta.

Gracias a ambos!

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Vale, acabo de comprobarlo y sí, parece que su solución está bien.

Mil gracias, no sabía cómo abordar el problema.

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Buenas, se me ha planteado el siguiente problema:

\( 19^{470}x \equiv{21 mod 53} \)

No tengo mucha idea de por dónde empezar. ¿Me echan una mano?

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Buenas tardes. Se me ha planteado el siguiente problema de artimética entera y modular:

Tenemos tres garrafas, con capacidades de 21, 35 y 45 litros. Vamos a una fuente a por agua, y queremos traer 17 litros. Antes de salir, nos piden que traigamos además 9 litros. ¿Sería posible, en un solo viaje, regrasar con 17 litros en una garrafa y 9 en la otra? Caso de ser posible, explica el procedimiento para lograrlo.

Entiendo correctamente el problema y antes de proceder a resolverlo he planteado el siguiente sistema de congruencias:

\( 21x + 35y + 45z \equiv{h} mód 17 \)
\( 21x + 35y + 45z \equiv{h mód 9} \)

No estoy seguro de haber planteado el sistema correctamente. ¿Me podrían echar una mano?

Muchas gracias de antemano.

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Vale, indagando en mis extensos apuntes he encontrado lo siguiente:

"Una política óptima, o estrategia de control óptima, tiene la propiedad de que, cualquiera que sea el estado inicial y la decisión inicial elegidos, la decisión restante forma una estrategia de control óptima con respecto al estado que resulta a consecuencia de la primera decisión".

El problema es, que en la sucesión de Fibonacci, estado inicial y la decisión inicial no pueden ser "cualesquiera", siempre se empieza igual con \( n_0 = 1 \) y \( n_1 = 1 \), y a partir de ahí se aplica la suma del término \( n_{-1} + n_{-2} \). ¿Eso quiere decir que no se puede aplicar el Principio de Optimalidad de Bellman, pues en Fibonacci solo hay un único estado inicial?

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Buenas, estoy estudiando el método de la Programación Dinámica y téoricamente todo me queda muy claro, incluido el Principio de Optimalidad de Bellman.

El problema viene cuando me ponen un problema, y verifique si se cumple el Principio de Optimalidad de Bellman para comprobar si se puede aplicar un enfoque de Programación Dinámica a ese problema. Ahí es donde viene mi consulta.

Por ejemplo, me piden lo siguiente: " Explicar si es posible o no aplicar Programación Dinámica al diseño de un algoritmo
para el cálculo de la sucesión de los números de Fibonacci."
.

Está claro que el cálculo de la sucesión de Fibonacci es un problema n-etápico, pero no entiendo cómo verificar que se cumple el POB para ese caso en concreto, o para cualquier otro que me den.

¿Podrían darme unos consejos para poder verificar el POB a nivel general?

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Resolví la parte más compleja y me atasqué en la más fácil...

Muchísimas gracias. Tenga un buen día.

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