Quizá no sea tan gracioso a los que nos gustan las mates pero...:

Bueno. Si no admites que una afinidad sea una función lineal, toma \( f(x)=3x \) que sí es lineal en el sentido que tú dices. Su derivada es \( 3 \) y claramente \( 3x\neq 3 \)

Creo que hay una confusión de nomenclatura. Cuando se escribe \( f(x)=3x \) la transformación lineal no es \( 3x \) sino 3. Es una matriz \( 1\times 1 \) cuya única entrada es 3. La derivada (lo que vendría a ser el Jacobiano para mayores dimensiones) es esa matriz y es simplemente \( 3 \). Creo que lo que quieres decir es que en general, la aplicación \( df: \mathbb{R}^n \rightarrow L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m), \ a \mapsto (x\mapsto df_a x)
] \) no es lineal.

Saludos.

Hola.

Las preguntas clásicas sobre este tema se repiten porque la sociedad intenta darles una respuesta no matemática o intuitiva cuando, el concepto, o idea en este caso, es una consecuencia directa de las matemáticas. Para empezar deberías plantearte qué quiere realmente decir que el espacio es infinito. ¿Cómo lo definirías? ¿Y desde qué punto de vista quieres abordar este tema, desde un punto de vista teórico o un punto de vista experimental?

Desde un punto de vista experimental, podríamos decir que el universo no tiene un borde definido debido al principio cosmológico. Esto es, que el universo es homogéneo e isótropico.La observación de la radiación cósmica de fondo en todas direcciones es una prueba experimental de ello.

Desde un punto de vista teórico, el universo es descrito mediante métricas. Una métrica es una función que nos da la distancia entre dos puntos. Pues bien, las métricas son las soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein, ecuaciones que describen la geometría del espacio-tiempo. Una solución exacta de estas ecuaciones es la métrica de FRLW (Friedman-Lemaître-Robertson-Walker), y como tal, describe el comportamiento local del espacio-tiempo. Para una densidad de materia lo suficientemente grande, refleja  un universo con una curvatura positiva, por lo que de acuerdo con el teorema de Myers cualesquiera dos puntos pueden ser unidos por un segmento de longitud finita. En este caso el universo sería "cerrado" pero al ser la densidad de masa tan grande, hay suficiente materia como para frenar la expansión del universo y eventualmente hacer que todo vuelva a contraerse hasta que el universo colapse. Ten en cuenta que el universo sea cerrado no implica que tenga un "borde" o un "final" (de la misma manera que el área de una esfera no tiene borde ni fin).
Para un valor de densidad conocido como densidad crítica tendríamos un universo "Plano" (o en términos más precisos, tendríamos una variedad lorentziana de cuatro dimensiones y curvatura nula) tal como es descrito por la métrica de Minkowski. El problema con este tipo de universo es que viola el principio cosmológico citado antes por lo que no se considera una solución válida. Así, las soluciones FRLW sugieren una densidad máxima, lo cual mola porque concuerda muy bien con el modelo que tenemos sobre el inicio del universo, que es el Big Bang, y concuerda también con la suposición de que al inicio del universo, todas las posibles distancias tendían a 0, suposición derivada de la propia teoría del Big Bang.

También hay soluciones desde un punto de vista matemático pero que no tienen tanto sentido físico. Por ejemplo, podríamos tener un espacio con curvatura negativa pero finito pero la topología de estos espacios mhmm... no tiene mucho sentido físico. En particular, a grandes distancias el universo podría volverse menos isotrópico.

Todo esto es desde un punto de vista matemático. ¿Pero qué quiere decir infinito desde un punto de vista físico?

Saludos.

Correcto.

Saludos.

Hi.

The region is limited by \( \dfrac{\pi}{4}\le\theta \le \dfrac{\pi}{2} \) and \( 0\le r\le \dfrac{\cos\theta}{\sin^2\theta} \). The limits for \( \theta \) are obvious. For \( r \), note that the minimum value is 0 and the maximum value occurs at \( y=\sqrt{x} \implies r\sin{\theta} = \sqrt{r\cos{\theta}} \to r = \dfrac{\cos\theta}{\sin^2\theta} \).

Hence, the integral is \[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\cos (\theta)}{\sin ^{2}(\theta)}}r^{2} d r d \theta=\frac{2}{45}(1+\sqrt{2}) \].

Regards.

Hola.

Para escribir en \( \LaTeX \) la función parte entera usa [tex]\lfloor[/tex] (l de left) para obtener \( \lfloor \) y usa [tex]\rfloor[/tex] (r de right) para obtener \( \rfloor \). Combinando ambas, escribiendo [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] obtienes \( \lfloor x \rfloor \). Para el símbolo menor o igual puedes usar [tex]\le[/tex] obteniendo \( \le \).

En cuanto a tu ejercicio, observa que dado que \( x,y, \lfloor x \rfloor, \lfloor y \rfloor \ge 0 \) y dado que \( x \ge  \lfloor x \rfloor \) e \( y \ge  \lfloor y \rfloor, \) entonces multiplicando ambas inecuaciones obtienes que \( xy \ge  \lfloor x \rfloor  \lfloor y \rfloor \). Por otra parte, puesto que \( \left\lfloor \lfloor x \rfloor \right \rfloor = \lfloor x \rfloor  \) entonces  \( \lfloor xy \rfloor \ge \lfloor  \lfloor x \rfloor   \lfloor  y \rfloor \rfloor = \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor \). Otra manera de ver la inecuación \( xy \ge  \lfloor x \rfloor  \lfloor y \rfloor \) es observando que \( x = \lfloor x \rfloor + \{x\} \) e \( y = \lfloor y \rfloor + \{y\}  \) y entonces \( xy =\lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor + \underbrace{\lfloor x \rfloor\{y\} + \lfloor y \rfloor \{x\} + \{x\}\{y\}}_{\ge 0} \implies xy \ge  \lfloor x \rfloor  \lfloor y \rfloor  \). Y otra manera de concluir es ver que por definición de función entera, si \( xy \ge  \lfloor x \rfloor  \lfloor y \rfloor \) el entero mayor cercano a \( xy \) es precisamente \( \lfloor xy \rfloor \) y necesariamente se ha de tener que \( \lfloor xy \rfloor \ge  \lfloor x \rfloor  \lfloor y \rfloor  \).

Saludos.

Hola

Una forma:

Spoiler

En el triángulo \( ADB \) por el Teorema de los Senos:

\( BD=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(60^o)},\quad AD=\dfrac{AB\cdot sin(20^o)}{sin(60^o)} \)

y en el triángulo \( ABC \) por el Teorema de los Senos:

\( BC=\dfrac{AB\cdot sin(100^o)}{sin(40^o)} \)

Por tanto \( BD+AD=BC \) equivale a:

\( sin(100^o)sin(40^o)+sin(40^o)sin(20^o)=sin(100^o)sin(60^o) \) (*)

Usando la identidad \( sin(x)sin(y)=\dfrac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y)) \), (*) equivale a:

\( cos(60^o)-cos(140^o)+cos(20^o)-cos(60^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

\( cos(20^o)-cos(140^o)=cos(40^o)-cos(160^o) \)

Pero como \( cos(x)=cos(180^o-x) \) efectivamente se da la igualdad.

[cerrar]

Saludos.

Bonito y sencillo. Con problemas como este se le coge el gusto a la geometría.

 

Yo quería dar una solución muy detallada y elemental en el sentido de que no involucrase nada más allá que la definición de convergencia para una sucesión y, por supuesto, la desigualdad de las medias, que a mí me encanta y siempre me es muy útil para encontrar acotaciones. Usar el binomio de Newton mola (de hecho así es como la vi en su día por primera vez) pero me parece muy bestia

Hola

Cita de: Samir M. en 06 Enero, 2022, 10:56 pm

Pd: cuál es la función de tex=break?

Que con ese parámetro se usa el display style de tex. Ejemplo:

\[ \frac ab \] hecho con [tex=break]\frac ab[/tex]                 \( \frac ab \) hecho con [tex]\frac ab[/tex]

Feliz Año

Ah, vale, muchas gracias.

Feliz año.

Esta está muy bien también. No veo que la mía sea mucho más fácil o directa que esta, la verdad.

Gracias