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Mensajes - Julio_fmat

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Hola Julio_fmat. Todo depende de los datos que tengas. El Teorema del Coseno dice:

    \( c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma) \)

Por tanto, necesitas datos de dos lados y un ángulo para calcular el largo del lado faltante. No sería el caso en tu problema (en tu problema sólo conoces la medida de un lado).


En cambio el Teorema del Seno dice que

    \( \dfrac{\sin(180^\circ-95^\circ-46^\circ)}{1.5}=\dfrac{\sin(46^\circ)}{x} \)

lo que te permite despejar la \( x \).

Siempre que tengas una duda así escribe el teorema y mira los datos que tienes y los que necesita el teorema. Si el problema es sencillo será evidente cual hay que usar, y cuando el problema no es sencillo tocará ir probando.

Muchas Gracias mathtruco  :).

Ahm, ok. Claro, para poder usar el Teorema del Coseno, debemos saber la medida de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Entonces, por el Teorema del seno, se tiene que \( \dfrac{\sin(39º)}{1.5}=\dfrac{\sin(46º)}{x}\implies x=\dfrac{1.5\sin(46º)}{\sin(39º)}\implies x\approx 1.71 \text{ km} \).

Por tanto, el fuego se encuentra a \( 1.71 \text{ km} \) de la torre \( A. \)

PD.: Saque el valor de los senos con dos decimales, con mi calculadora científica.

Saludos.

2
Un hombre observa la altura de una torre de alta tensión de \( 10 \text{ m} \) de altura. Si el ángulo de elevación del sol en relación al observador es de \( 30º \). Calcular la distancia entre el hombre y la torre.


Hola, como están. Hice mi desarrollo, quisiera saber si está correcto. Hacemos el dibujo de la situación, se tiene que el cateto opuesto al ángulo de 30º del triángulo rectángulo mide \( h=10 \text{ m} \). Luego, nos piden la hipotenusa \( d. \) Se tiene que,

\( \sin(30º)=\dfrac{10}{d}\implies \dfrac{1}{2}=\dfrac{10}{d}\implies d=20 \text{ m}. \)

Entonces, la distancia entre el hombre y la torre es de \( 20 \text{ metros}. \)

¿Está bien?

3
Dos vigilantes de incendios están ubicados en sus torres \( A \) y \( B. \) Ambos divisan fuego en un punto \( C. \) Si las torres de observación están a \( 1,5 \text{ km} \) una de la otra. ¿Cuán lejos se encuentra el fuego de la torre \( A \)?



Hola, como están. Tengo este problema de aplicación del Teorema del seno y del coseno. Entiendo los enunciados de dichos Teoremas, pero me cuesta aplicarlos; o sea, ¿cómo saber cuando estoy en presencia del Teorema del seno o del coseno?...  :banghead:. Muchas Gracias.

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Áreas / Calcular la longitud de una cinta
« en: 15 Septiembre, 2021, 06:23 pm »
Cuatro palos redondos de \( 6 \text{ cm} \) de diámetro cada uno se han atado con una cinta de plástico como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud de la cinta de plástico que ata los palos?



A) \( (24+6\pi) \text{ cm} \)

B) \( (48+12\pi) \text{ cm} \)

C) \( (12+3\pi) \text{ cm} \)

D) \( (36+9\pi) \text{ cm} \)

E) \( (24+12\pi) \text{ cm} \)


Hola, como están. No entiendo cómo calcular la longitud.  :banghead:

5
Áreas / Problema de Areas 9
« en: 15 Septiembre, 2021, 05:41 pm »
En la figura, \( ABCD \) es un cuadrado y \( \triangle ABE \) es equilátero. ¿Qué parte del área del cuadrado es el área achurada?



A) \( \dfrac{1}{4} \)

B) \( \dfrac{1}{3} \)

C) \( \dfrac{1}{2} \)

D) \( \dfrac{2}{3} \)

E) \( \dfrac{3}{4} \)


Hola, como están. Tengo este problema de Áreas. Mi idea de resolución es la siguiente:

\( \text{Area achurada} = (ABCD)-(ABE)-(CDE)=a^2-\dfrac{a^2}{4}\sqrt{3}-\dfrac{\text{base}\cdot \text{ altura}}{2}. \)

Pero no se me ocurre cómo calcular la altura del \( \triangle CDE \) isósceles.  :banghead:

De todas formas, mi desarrollo quedaría en función del parámetro \( a. \)

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Áreas / Re: Problema de Areas 7
« en: 14 Septiembre, 2021, 10:53 pm »
Hola.
El \( \triangle ABC \) de la figura es isósceles de base \( AB=8 \text{ cm} \), \( D \) es punto medio de \( \overline{BC} \), \( FE=4 \text{ cm} \), ¿cuál es el área del \( \triangle ABC \)?




A) \( 48 \text{ cm}^2 \)

B) \( 72 \text{ cm}^2 \)

C) \( 96 \text{ cm}^2 \)

D) \( 144 \text{ cm}^2 \)

E) Ninguna de las anteriores


Hola, como están. Os traigo este problema de Áreas. No sé como usar la información de que \( D \) es punto medio de \( \overline{BC} \)...  :-\
Hay un resultado conocido que dice que el baricentro (donde se cortan las medianas) divide a cada mediana de forma que el segmento que va hasta el vértice mide el doble que el que corta a la base en 2 mitades.

En tu caso el punto \( F  \) es el baricentro del triángulo y la mediana de la base \( AB \) es la altura del triángulo, único dato que te falta para el área, solo debes aplicar que la altura mide es el triple que el segmento \( EF \).

Saludos.

P.D.: Se me acaba de adelantar Juan Pablo.


Muchas Gracias feriva, Juan Pablo Sancho, robinlambada y delmar :). Me queda claro. Mi resolución del problema es con la idea de robin. Se tiene que como \( D \) es punto medio de \( \overline{BC} \), entonces \( AD \) es transversal de Gravedad. Luego, \( F \) es baricentro. Entonces, \( CF=2FE\implies CF=2\cdot (4 \text{ cm})=8 \text{ cm}. \) Así, \( CE=CF+FE=8 \text{ cm}+4 \text{ cm}=12 \text{ cm}. \) Por lo tanto, \( (ABC)=\dfrac{AB\cdot CE}{2}=\dfrac{(8 \text{cm})\cdot (12 \text{cm})}{2}=48 \text{ cm}^2. \)

Alternativa A).

Saludos.

7
Áreas / Problema de Areas 8
« en: 13 Septiembre, 2021, 09:15 pm »
En el paralelogramo \( ABCD \) de la figura, \( P \) y \( Q \) son puntos medios de los lados respectivos y \( R \) no es punto medio de \( \overline{CQ} \). ¿Qué porcentaje es la region achurada del paralelogramo \( ABCD \)?




A) \( 25\% \)

B) \( 30\% \)

C) \( 33\frac{1}{3}\% \)

D) \( 40\% \)

E) No se puede determinar

8
Áreas / Problema de Areas 7
« en: 13 Septiembre, 2021, 07:12 pm »
El \( \triangle ABC \) de la figura es isósceles de base \( AB=8 \text{ cm} \), \( D \) es punto medio de \( \overline{BC} \), \( FE=4 \text{ cm} \), ¿cuál es el área del \( \triangle ABC \)?




A) \( 48 \text{ cm}^2 \)

B) \( 72 \text{ cm}^2 \)

C) \( 96 \text{ cm}^2 \)

D) \( 144 \text{ cm}^2 \)

E) Ninguna de las anteriores


Hola, como están. Os traigo este problema de Áreas. No sé como usar la información de que \( D \) es punto medio de \( \overline{BC} \)...  :-\

9
Áreas / Re: Perímetro de la region achurada
« en: 13 Septiembre, 2021, 04:47 pm »
Saludos

...
Hola, como están. Lo resolví, pero me da la alternativa E).  :banghead: La correcta es la alternativa A).

Te falta calcular y sumar a tu resultado la parte curva del perímetro.

Saludos

Muchas Gracias ingmarov, si, eso me faltaba. Se tiene que,

\( P=AB+CD+AC+m\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{BD}}=16+8\sqrt{2}+\dfrac{\alpha \cdot 2\pi r}{360}=(16+8\sqrt{2}+4\pi) \text{ cm}. \)

Saludos.

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Áreas / Re: Problema de Areas 6
« en: 13 Septiembre, 2021, 04:09 pm »
En la figura, \( ABCD \) es un paralelogramo donde \( P, Q \) y \( R \) son puntos medios de los lados respectivos, ¿qué fracción es la región achurada de la no achurada?




Imagina que es un marco de madera que puedes deformar como cuando los clavos están flojos. Lo que ocurre es lo que ves en el dibujo. Cuando el cuadrilátero es un rectángulo, los triángulos de la izquierda, que quedan dentro de dicho cuadrilátero, aparecen simétricamente por el otro lado; pero dentro del paralelogramo y fuera del rectángulo (viceversa). Es decir, se compensan, por lo que el área del rectángulo y el paralelogramo es la misma (y el perímetro también).

Luego vale con que te fijes en un rectángulo con dos triángulos rectángulos enfrentados por el punto Q (cuyas hipotenusas llegan a Q desde los puntos medios de los lados).

Entonces, simplemente, pegas a ésos triángulos otros iguales (hipotenusas contra hipotenusa, de forma que te quedan dos rectángulos pequeños en la parte de abajo del rectángulo grande). Y en la mitad de arriba, lo mismo, es simétrico, quedan otros cuatro triángulos (como ves en el dibujo de abajo) Luego la proporción es \( \dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4} \).

Saludos.

Muchas Gracias feriva y martiniano. No sabia que se podía hacer eso. No me queda claro aun el problema  :banghead:. Se tiene que \( \text{Área sombreada} = \dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4} \). Entonces, hacemos una proporción para encontrar el área no achurada? La alternativa correcta es A).

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Áreas / Problema de Areas 6
« en: 13 Septiembre, 2021, 02:17 am »
En la figura, \( ABCD \) es un paralelogramo donde \( P, Q \) y \( R \) son puntos medios de los lados respectivos, ¿qué fracción es la región achurada de la no achurada?



A) \( \dfrac{1}{3} \)

B) \( \dfrac{1}{4} \)

C) \( \dfrac{1}{5} \)

D) \( \dfrac{2}{7} \)

E) \( \dfrac{2}{9} \)


Hola, como están. Tengo este problema de Áreas. Lo que he pensado es dibujar el cuadrilátero \( PQRS \), y hacer la resta entre el área de \( ABCD \) menos el área de \( PQRS \) menos el área de \( PDS \) menos el área de \( SCR \), para obtener la región sombreada. No se si esta bien.

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Áreas / Perímetro de la region achurada
« en: 13 Septiembre, 2021, 01:12 am »
Si en la figura, \( ABCD \) es un cuadrado de lado \( 8 \text{ cm} \) y \( DB \) es arco de circunferencia con centro en \( C. \) ¿Cuál es el perímetro de la región achurada?



A) \( (16+8\sqrt{2}+4\pi) \text{ cm} \)

B) \( (8+8\sqrt{2}+4\pi) \text{ cm} \)

C) \( (16+8\sqrt{2}+8\pi) \text{ cm} \)

D) \( (16+4\sqrt{2}+8\pi) \text{ cm} \)

E) \( (16+8\sqrt{2}) \text{ cm} \)


Hola, como están. Lo resolví, pero me da la alternativa E).  :banghead: La correcta es la alternativa A).

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Áreas / Re: Calcular segmento EF de un rombo ABCD
« en: 12 Septiembre, 2021, 11:34 pm »
En la figura, \( ABCD \) es un rombo de diagonales \( 2a \) y \( 2b. \) Si \( FC=FD \), entonces \( EF \) mide:



A) \( 2\sqrt{a^2+b^2} \text{ cm} \)

B) \( \sqrt{a^2+b^2} \text{ cm} \)

C) \( \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \text{ cm} \)

D) \( (a+b) \text{ cm} \)

E) \( \dfrac{a+b}{2} \text{ cm} \)


Hola, como están. Tengo dudas sobre como calcular la medida del segmento \( EF \)...

Las siguientes dos (2) propiedades son bien conocidas en geometría.

Las diagonales de un rombo se bisecan perpendicularmente.
La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide la mitad de esta.

Con ello llegas de inmediato a la alternativa C como respuesta correcta. Ahora, ¿que las unidades sean cm.?... ¡hasta ahí no llego yo!  ;)

Saludos.

Hola hmendez, muchas Gracias por la ayuda. Me ha quedado claro.  :aplauso:

Se tiene entonces que como \( E \) es punto medio de \( AC \) y \( BD \), entonces \( EC=a \) y \( DE=b. \) Luego, por Pitágoras en el \( \triangle CED \), se tiene que \( CD=\sqrt{a^2+b^2} \). Como \( EF \) es mediana, \( EF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} \text{ cm}. \)

Alternativa C).

Saludos.

14
Áreas / Re: Problema de Areas 5
« en: 12 Septiembre, 2021, 01:50 am »
Hola.
En la figura, \( ABCD \) es un cuadrado de lado \( 2 cm \) y \( \triangle DCE \) es equilátero, entonces la suma de los segmentos que forman el cuadrilátero achurado es:




A) \( (2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}) \text{ cm} \)

B) \( (2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) \text{ cm} \)

C) \( (2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{5}) \text{ cm} \)

D) \( (3+2\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) \text{ cm} \)

E) \( (2+2\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) \text{ cm} \)


Hola foro, tengo duda con este problema. Me da \( \displaystyle\sum (Área achurada)=2a+2\sqrt{2}+\dfrac{a}{2}\sqrt{3} \).
¿Qué has intentado? .Te lo comento porque es muy raro que te de el resultado en función de un parámetro a.
El problema esta totalmente determinado dando un resultado numérico que no depende de ningún parámetro.

Para solucionarlo solo debes aplicar el teorema de Pitágoras para 3 de los 4 lados.

Dinos que has hecho para que te de tu resultado y así podremos ayudarte a ver tus fallos.

Saludos.

Hola robin  :). Muchas Gracias, ya me di cuenta de mi error, me estaba complicando mas de la cuenta.

Bueno, sabemos que la altura de un triángulo equilátero es \( h=\dfrac{a}{2}\sqrt{3} \). Si \( a=2 \) es el lado del cuadrado, entonces \( h=\sqrt{3}=EF \). La diagonal del cuadrado \( ABCD \) es \( AC=2\sqrt{2} \). Luego, por Pitágoras en el \( \triangle ADF \), se tiene que \( AF=\sqrt{5} \). Entonces,

\( \sum(segmentos)=(EF+CE+AC+AF)=(2+2\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) \text{ cm}. \)

Alternativa E).

Saludos.

15
Áreas / Re: Problema de Àreas 4
« en: 11 Septiembre, 2021, 11:40 pm »
Otra manera usando el concepto de área bajo la curva:



A partir de la figura de arriba tenemos un problema de calcular el área comprendida entre la función \( f(x) = \sqrt {1 - x^2} \) y la recta \( g(x) = -x + 1 \), esto es, \( A = \displaystyle\int_{0}^{1}((f(x) - g(x))dx = \displaystyle\int_{0}^{1}\left(\sqrt {1 - x^2} + x - 1\right)dx = \frac{\pi - 2}{4} \). Como hemos calculado una octava parte del área pedida, entonces el área total es \( A_T = 8A = 2\pi - 4 \).

Obviamente los razonamientos de Delmar y Feriva son más elegantes. Lo mío es solo por pasar el rato en lo que empieza la fiesta de mi cumpleaños xD

Muchas Gracias a todos!! Me quedo claro.

Saludos.

16
Áreas / Problema de Areas 5
« en: 11 Septiembre, 2021, 11:23 pm »
En la figura, \( ABCD \) es un cuadrado de lado \( 2 cm \) y \( \triangle DCE \) es equilátero, entonces la suma de los segmentos que forman el cuadrilátero achurado es:




A) \( (2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}) \text{ cm} \)

B) \( (2+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) \text{ cm} \)

C) \( (2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{5}) \text{ cm} \)

D) \( (3+2\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) \text{ cm} \)

E) \( (2+2\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}) \text{ cm} \)


Hola foro, tengo duda con este problema. Me da \( \displaystyle\sum (Área achurada)=2a+2\sqrt{2}+\dfrac{a}{2}\sqrt{3} \).

17
Áreas / Calcular segmento EF de un rombo ABCD
« en: 11 Septiembre, 2021, 10:32 pm »
En la figura, \( ABCD \) es un rombo de diagonales \( 2a \) y \( 2b. \) Si \( FC=FD \), entonces \( EF \) mide:



A) \( 2\sqrt{a^2+b^2} \text{ cm} \)

B) \( \sqrt{a^2+b^2} \text{ cm} \)

C) \( \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2} \text{ cm} \)

D) \( (a+b) \text{ cm} \)

E) \( \dfrac{a+b}{2} \text{ cm} \)


Hola, como están. Tengo dudas sobre como calcular la medida del segmento \( EF \)...

18
Áreas / Problema de Àreas 4
« en: 10 Septiembre, 2021, 10:39 pm »
\( ABCD \) es un cuadrado de lado \( 2 \text{cm}. \) Los cuatro arcos de circunferencia se dibujaron con centro en el punto medio de cada lado del cuadrado. El área sombreada mide:




A) \( (2\pi-4) \text{cm}^2 \)

B) \( \left(4-\dfrac{3\pi}{4}\right) \text{cm}^2 \)

C) \( (\pi-1) \text{cm}^2 \)

D) \( (2\pi-2) \text{cm}^2 \)

E) \( 2 \text{cm}^2 \)


Hola, como están. Traigo este ejercicio de áreas que no se como afrontarlo. Si me pudieran ayudar, estaré agradecido. Muchas Gracias.

19
Áreas / Re: Área de un triangulo 3
« en: 20 Agosto, 2021, 12:12 am »
Hola

Estoy un poco apurado; pero hay que demostrar primero que \( FC=CE \) (lo hice vectorialmente) denominando x=BE el punto F queda determinado, por pitágoras \( CE=\sqrt[ ]{x^2+16^2} \) en consecuencia por el dato respecto al triángulo rectángulo ECF se tiene \( 200=(x^2+16^2)/2 \) se despeja x


Spoiler
D
[cerrar]


Saludos

Muchas Gracias a delmar, geometracat y a feriva por sus ayudas. Me queda claro ahora. El punto clave era notar que \( FC=CE \), para luego poder usar el dato del área del triángulo \( ECF. \) Creo que feriva lo hizo mas largo :laugh:.

Saludos.

20
Áreas / Área de un triangulo 3
« en: 19 Agosto, 2021, 03:01 am »
En la figura adjunta, \( ABCD \) es un cuadrado de área \( 256 \text{ cm}^2 \) y \( ECF \) es un triangulo rectángulo en \( B \) de área \( 200 \text{ cm}^2 \) y \( m\angle CBE=90 \). ¿Cuál es el área del \( \triangle BEC \)?




A) \( 128 \text{ cm}^2 \)

B) \( 120 \text{ cm}^2 \)

C) \( 100 \text{ cm}^2 \)

D) \( 96 \text{ cm}^2 \)

E) No se puede determinar


Hola, como están. Tengo este problema de Áreas. Tengo calculado el valor de la altura del triangulo BEC. Se tiene que \( (ABCD)=a^2=256\implies a=16 \text{ cm}. \) Entonces, \( CB=16. \) Me falta el valor del segmento \( BE. \)

PD.: Por fin aprendi a subir las imágenes ;D.

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