[Colinstation]

Espero alguien me pueda ayudar a resolver este problema. He querido aplicar el Teorema del ángulo central de una circunferencia, el Teorema de la concurrencia de las alturas de un triángulo y el Teorema de la potencia de un punto. Pero no he tenido éxito. Algo se me está pasando......

Cualquier aporte se agradece. No importa si hay que aplicar otros Teoremas para resolverlo.
Muchas Gracias.

[Héctor Manuel]

Prolonga \( AB \) hasta que intersecte a \( ER \), digamos en \( L \). Prolonga \( AC \) hasta que intersecte a \( DF \), digamos en \( J \). Llamemos \( G \) a la intersección de \( PC \) con \( FR \).

El cuadrilátero \( FRJL \) es cíclico. Entonces \( \angle JLR=\angle JFR \), y por paralelismo, \( \angle JFR=\angle RGC \).

Por otra parte, \( \angle CBM=\angle CPM \) ya que \( PMCB \) es cíclico. Por paralelismo \( \angle CPM=\angle PGF \).

Pero \( \angle PGF=\angle RGC \). En conclusión: \( \angle JLR=\angle CBM \). Como \( BM||LR \), entonces \( BC||LJ \).

Por tanto \( AK \) es perpendicular a \( LJ \). Luego, \( AK \) es altura del \( \triangle ALJ \). Pero \( LR \) y \( JF \) también, de modo que \( I \) es el ortocentro de  \( \triangle ALJ \). Así, \( AK \) pasa por \( I \).

Saludos.

[Colinstation]

MUCHAS GRACIAS HÉCTOR. MUY BUENA EXPLICACIÓN. MOSTRASTE TRAZOS QUE NO HABÍA INTENTADO.

SALUDOS.

QUE TENGAS BUEN DÍA.

[Colinstation]

No logro ver como el cuadrilátero FRJL y el cuadrilátero PMCB que menciona Héctor sean cíclicos. Es decir, que cuyos cuatro vértices de los cuadriláteros se encuentren en una misma circunferencia.  Si alguien lo puede explicar, lo agradecería.

Gracias de antemano.

[Héctor Manuel]

Veamos: \( PMCB \) es cíclico por que los ángulos \( \angle BPC \) y \( \angle BMC \) son iguales, ya que ambos son rectos. Lo mismo para el cuadrilátero \( FRJL \).

Saludos.