[BobAlpha]

Hola tengo un ejercicio que me falta saber una cosa para resolverlo, dice que defina un subespacio vectorial \( L \), de \( \mathbb{R}^4 \) y que calcule su complemento ortogonal. Declaro por ejemplo los vectores \( (1,1,-1,1) y (2,1,-1,3) \) como vectores de \( L \) y por definición los vectores de \( L^\perp \) son \( (-1,-1,-1, 1) y (1,-2, 3, 1)  \) (la definición es que su producto escalar sea 0), ahora es cuando me piden que descomponga el vector \(  (2, 0, 0, 8) \) en la suma de un vector de \( L \) con otro vector de \( L^\perp \). ¿Qué puedo hacer para encontrar dicha descomposición? He pensado en buscar dos vectores uno de cada subespacio que ambos sumen eso, pero no sé como hallarlo.

Un saludo y gracias

[León]

Hola Bob,


Si \( L=\left<{(1,1,-1,1);(2,1,-1,3)}\right> \) (se lée "el subespacio generado" por los vectores ...)

Entonces los vectores que das para \( L^\perp \) no son correctos. Los vectores de \( L^\perp \) deben ser perpendiculares a todos los de \( L \), no sólo a uno de ellos.

Puedes hacer las cuentas con los vectores dados (busca todos los \( v\in\mathbb R ^4 \) que son perpendiculares a todos los vectores de L -tienes que resolver un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas).

Si tienes libertad te recomiendo elegir vectores mas simples, con mas ceros, para facilitarte la tarea que sigue.

Una vez que tengas los dos subespacios (ambos de dimesión 2) puedes ver qué combinación de los cuatro generadores da (2,0,0,8), por ejemplo (esto se puede hacer de varias maneras, la mas básica pero no la mas corta, es escribir la combinación lineal genérica y resolver el sistema. Si haces eso te muestro después un atajo.)

[BobAlpha]

Gracias por la respuesta, no sabia eso de que tenian que ser perpendiculares a todos, entonces sí, mejor coger vectores simples y se hacen mejor los cálculos

[BobAlpha]

Ya he vuelto a realizar los cálculos y me salen de \( L = <(1,0,0-2) , (2,0,0-4)> \) y del ortogonal \(  L^\perp = <(2,0,0,1) , (1,0,0,\displaystyle\frac{1}{2})> \) y haciendo la combinación con el (2,0,0,8) salen efectivamente 2 ecuaciones con 4 incógnitas pero aqui viene una duda y es que no sé cómo sacar la combinación lineal con 2 parámetros. ¿Me podeis echar un cable?

[León]

Hola de nuevo.

Bueno, ahora los vectores (1,0,0,-2) y (2,0,0,-4) que elegiste son linealmente dependientes, así que tu L tiene dimensión 1 y \( L^{\perp} \) tendría dimensión 3.

Voy a hacer la parte de calcular el complemento ortogonal con los dos generadores que habías dado originalmente:

\( L=\left<{(1,1,-1,1);(2,1,-1,3)}\right> \)

Spoiler

Buscamos los vectores que son ortogonales a todos los vectores de L. En particular tienen que ser ortogonales a (1,1,-1,1) y (2,1,-1,3) (y además alcanza con eso, porque si es perpendicular a esos dos también lo será a cualquier vector de L, que es combinación lineal de esos dos).

Lo que buscamos es un (x1,x2,x3,x4) tal que,

\(
\left\{\begin{matrix}
(x_1,x_2,x_3,x_4)\cdot(1,1,-1,1)&=0\\
(x_1,x_2,x_3,x_4)\cdot(2,1,-1,3)&=0\\
\end{matrix}\right.
 \)

Es decir, tenemos que resolver el sistema,

\(
\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2-x_3+x_4&=0\\
2x_1+x_2-x_3+3x_4&=0\\
\end{matrix}\right.
 \)

Antes de resolverlo ya hay una manera de expresar cual es \( L^\perp \)... es la solución de ese sistema de ecuaciones lineales homogéneas. Pero también, resolviendo el sistema, queda que

\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=({\color{brown}-2}x_4,x_3{\color{brown}+x_4},x_3,x_4)=x_3(0,1,1,0)+x_4({\color{brown}-2,1},0,1) \)

En definitiva \( L^{\perp}=<(0,1,1,0),(-2,1,0,1)> \)

Ahora faltaría ver qué combinación de (1,1,-1,1),  (2,1,-1,3), (0,1,1,0) y (-2,1,0,1) es el (2,0,0,8)... así podrás escribirlo como suma de un vector de \( L \) con uno de \( L^\perp \).

[cerrar]

Saludos, espero que te sirva.

CORRECCION EN LAS CUENTAS

[BobAlpha]

Me ha sido de gran ayuda, lo unico que me queda una duda es cuando haces la resolución del sistema para conocer \( L^{\perp} \) no veo de donde sale el \( 2x_1 \), el \( x_3-3x_4 \) si veo su origen pero no del primero, por otro lado es una buena forma y rápida de calcularlo estoy viendo. Un saludo

[León]

Atención Bob, en realidad cometí un error en las cuentas (fijate que está corregido) pero esos valores salen de resolver el sistema de ecuaciones. No hay "que verlos" así de la nada

Para resolver,
\(
\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2-x_3+x_4&=0\\
2x_1+x_2-x_3+3x_4&=0\\
\end{matrix}\right.
 \)

Puedes utilizar, por ejemplo, el método de Gauss, (¿lo conoces?)

Si lo haces llegarás a:

\(
\left\{\begin{matrix}
x_1+2x_4&=0\\
x_2-x_3-x_4&=0\\
\end{matrix}\right.
 \)

que equivale a

\(
\left\{\begin{matrix}
x_1=-2x_4\\
x_2=x_3+x_4\\
\end{matrix}\right.
 \)

Y por eso digo que,

\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=(-2x_4,x_3+x_4,x_3,x_4) \)

Saludos.

[BobAlpha]

Si bueno me expresé mal a la hora de decir "verlos" me refería a que conocía su procedencia, de todos modos gracias por la aclaración, ¡gracias por ayudarme a resolver el ejercicio! Un saludo