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Mensajes - León

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Foro general / Re: Matemáticas es ciencia
« en: 15 Octubre, 2013, 12:48 am »
Estoy de acuerdo con argentinator y en gran parte con Capitán, leyendo lo que escriben como una serie de argumentaciones destinadas a convencer de que la sociedad debe valorar e impulsar la práctica de disciplinas como la historia y la física por encima de otras disciplinas como la astrología -que consideramos tramposas, equivocadas y directa o indirectamente nocivas.

Es cierto que hay un importante costado ético en el asunto. Tenemos estos valores porque nos parecen los mejores para organizar la sociedad -nos parece que dejar la salud en manos de gente no preparada, irracional o charlatanes es nocivo, etc... No hay un criterio universal para decidir qué es lo bueno: hay gente que defiende con ahínco el valor del conocimiento astrológico o qué se yo, las monarquías, los privilegios, etc... El mecanismo por el cual se dirimen esos conflictos de valores es la política, claro. Por eso es importante preservar el poder que tenemos sobre la palabra "ciencia" y usarlo con cariño.

Tengo una pequeña discrepancia con Capitán: no creo que "medir" y predecir cantidades sea un criterio indiscutible de cientificidad cuando uno se aleja de las ciencias naturales. Estoy en contacto con antropólogos así que doy esa ciencia como ejemplo. Muchos antropólogos, por ejemplo, hacen perfectamente su trabajo sin mencionar cantidades y muchas veces las mencionan como un dato secundario en el que la precisión no es importante ("es un comunidad pequeña compuesta de unos pocos miles de personas"). Se estudian patrones de conducta, se hace el trabajo a veces matemáticamente intensivo de describir la estructura de un lenguaje, se releva la memoria oral, los mitos y se trata de entender algún fenómeno cultural. Podemos aceptar una cosa: no es en general por ignorancia o incapacidad de los científicos que no hay "mediciones" sino, al contrario, porque la experiencia, la práctica de la disciplina, les enseñó cuando es conducente o necesario contar o medir. Me decían el otro día que algunas veces el trabajo mas mediocre, el que menos adecuadamente describe el fenómeno que se estudia, es el que mas tablas, números, estadísticas presenta -el prejuicio a favor de la cuantificación se usa para darle crédito al trabajo. La estadística sí aparece, a veces, en general jugando un papel secundario o de apoyo a otras formas de adquisición de datos ("entrevistas", "observación participante", qué se yo qué otras metodologías). Pero a pesar de esta "falta de números" no encuentro una diferencia fundamental con el físico que trata de entender la dinámica de cierta partícula elemental, basado en otro tipo de datos empíricos, altamente cuantificados. En definitiva la antropología tiene aplicaciones también: el conocimiento que expresa permite crear estrategias para identificar/resolver problemas sociales, intercambia preguntas con otras ciencias. Además por supuesto mantiene un amplio campo de investigación "pura" cuyas aplicaciones no son evidentes -¡no sé a qué me recuerda! : )
Lo que digo en definitiva  es que si tratás de imponer el criterio de que donde no hay mediciones cuantitativas no hay ciencia, estás atacado -políticamente- a varias disciplinas para las que la cuantificación no es central, cuya práctica implica sin embargo un gran sentido crítico y a las que creo que vale la pena reconocerles valor social. Abrazo.


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Foro general / Re: Matemáticas es ciencia
« en: 14 Octubre, 2013, 10:08 pm »
Hola, tanto tiempo.

Pasaba -este era el primer hilo en el foro- me dejaron pensando y me motivaron a meterme. Es muy difícil ir a buscar verdades al diccionario que lo que hace es tratar de relevar en un sólo sitio los usos discímiles y difusos del lenguaje que hace gente con muy distintas visiones de la realidad. Digamos que el diccionario no tiene ninguna obligación de ser coherente.

La pregunta "¿la matemática es una ciencia?" tiene muchas interpretaciones, pero creo que es una pregunta mas política que filosófica. (Creo que podemos entender que es una pregunta política si la desplazamos a otras disciplinas -"¿la astrología es una ciencia?", "¿la psicología es una ciencia?"). Si la matemática no es considerada una ciencia, para una gran parte de la sociedad, todo su valor social derivará del uso que de ella hacen de las ciencias naturales y la tecnología.

Las ciencias naturales (la física, química, biología), por supuesto, son por convención hegemónica ciencias desde el renacimiento. Las ciencias sociales/humanas (la antropología, la historia, la economía, la sociología, la sicología) están en una situación mas precaria. Que una disciplina sea considerada "ciencia" por la sociedad es ventajoso a su practica -somos seres gregarios. Por interés propio y amor a su disciplina, un estudiante siempre debe defender el carácter de "ciencia" de lo que hace. El asunto tiene poco que ver con cual "es la verdad" sino mas bien con que lo que se llame ciencia será defendido por los ministerios o secretaría del area científica de los estados modernos, tendrá mayor cabida en las universidades, etc...

Dicho eso, la matemática no es una especie en peligro de extinción sino una disciplina bastante valorada, financiada y protegida por las universidades y los estados. (¡Nos podemos relajar en ese sentido!)

Dejando el costado político de lado, me parece que se puede hacer una buena definición diccionaril (búsquense esa!) de "ciencia" agrupando las ideas de "cuerpo de conocimientos" y "método de validación de novedades".

Claro que qué es conocimiento, es algo subjetivo. Supongo que con los valores de cualquiera de nosotros las ciencias naturales, ciencias sociales (quizás con alguna excepción para alguno) y la matemática pasan la prueba: consisten en un cuerpo de conocimientos y métodos de validación -distintos- pero adecuados y aceptables.

La astrología también es un cuerpo de algo que los practicantes llaman conocimiento y tiene -supongo- un método de validación de novedades. Es una ciencia, para los practicantes.

El consenso social mayoritario del que formamos parte, por suerte, no considera válido ni los conocimientos -"conocimiento inválido", por supuesto, no es conocimiento- ni el método de validación... por lo tanto convencionalmente no es ciencia y no se malgastan los dineros públicos en financiar a sus practicantes.

Esto resume el estado de mis valores en cuanto a la palabra "ciencia". Abrazo.

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Cálculo 1 variable / Re: Topología parte 1
« en: 21 Mayo, 2011, 05:53 pm »
Tiene que ver con la continuidad del producto come te decía el_manco. Si estás usando la distancia dada por la norma:

\(
\begin{align*}
\|x_ny_n-x_my_m\|&=\|(x_n-x_m)y_n+x_my_n-x_my_m\|=\\
&=\|(x_n-x_m)y_n+x_m(y_n-_m)\|\\
&\leq\|y_n\|\|x_n-x_m\|+\|x_m\|\|y_n-y_m\|
\end{align*}
 \)

Tomando \( n_0 \) tal que \( \|y_n\|\leq\|y_{n_0}\|+1 \), \( \|x_m\|\leq\|x_{n_0}\|+1 \) para todo \( n,m>n_0 \)...
Y después tomando \( n_1>n_0 \) tal que \( \|x_n-x_m\|\leq \frac\epsilon{2(\|y_{n_0}\|+1)} \) y \( \|y_n-y_m\|\leq \frac\epsilon{2(\|x_{n_0}\|+1)} \) tenés todas las igualdades necesarias para ver que la sucesión \( x_ny_n \) también es de Cauchy.


Un abrazo.

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Cálculo 1 variable / Re: Topología parte 1
« en: 21 Mayo, 2011, 05:20 pm »
Hola waky.

Un conjunto finito como \( \{x_1,...,x_N\} \) siempre está acotado pues está contenido en \(  B_{\displaystyle(x_1,\max_{i\in\{2...n\}}\left\{d(x_1,x_i)\right\})} \)

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Estructuras algebraicas / Re: unión de cuerpos
« en: 20 Mayo, 2011, 04:25 am »
La idea es un poco la que dice bryan, pero en realidad como hay "menos cuerpos que grupos" no es suficiente demostración.

Primero hay que entender a qué se refiere bien la pregunta... si los dos cuerpos son disjuntos, ahí no tiene mucho sentido hacerse la pregunta porque ni siquiera tenés definidas la suma y el producto entre elementos de los dos conjuntos.

Ahora si se trata de dos subcuerpos del mismo cuerpo... la respuesta es que no, de todas maneras... porque por ejemplo la suma no queda cerrada en la unión.

"Por ejemplo..."
Fijate por ejemplo que \( \sqrt 2\in \mathbb Q[\sqrt 2] \) y \( \sqrt 3\in \mathbb Q[\sqrt 3] \) pero \( \sqrt 2 + \sqrt 3 \not \in \mathbb Q[\sqrt 2]\bigcup  \mathbb Q[\sqrt 3] \) (no pertenece a ninguno de los dos).
[cerrar]

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Hola zixale,

Es cierto, depende un poco de qué definición manejes de límite. ¡Es una sutileza medio farragosa de aclarar!

La definición que uso en general es,
\( \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\Leftrightarrow\\ \forall\epsilon>0\,\exists\delta>0,\begin{Bmatrix}\left[(a-\delta,a+\delta)-\{a\}\right]\bigcap\textrm{Dom}f}\neq\emptyset\\ \left[x\in\textrm{Dom}(f),0\neq|x-a|<\delta\rule[0em]{0em}{1.2em}\right]\Rightarrow\left[|f(x)-b|<\epsilon\rule[0em]{0em}{1.2em}\right]\end{matrix} \)

Con esa definición, el límite existe, aunque "no haya límite lateral" \( \displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0 \).

Otra definición alternativa -que se usa a veces y NO es completamente equivalente a la anterior- es la que exige, que para que esté definido el limite, haya un entorno del "a" que esté incluído en el dominio de f (salvo posiblemente el punto a), o sea:

\( \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\Leftrightarrow\\ \forall\epsilon>0\,\exists\delta>0,
\begin{Bmatrix} \left[(a-\delta,a+\delta)-\{a\}\right]\subseteq\textrm{Dom}f\\ \left[\left0\neq|x-a|<\delta\rule[0em]{0em}{1.2em}\right]\Rightarrow\left[|f(x)-b|<\epsilon\rule[0em]{0em}{1.2em}\right]\end{matrix} \)

Con la segunda definición, las funciones sólo pueden ser continuas si su dominio es un abierto en \( \mathbb{R} \). Para esas funciones las dos definiciones son equivalentes. Y es cierto que según esta segunda definición, mi contraejemplo no sirve (y de hecho se puede ver que no hay ningún contraejemplo con funciones a valores reales de una sola variable real).

Lo que sucede es que mas en general (con el lenguaje topológico) una función se dice "continua", si y sólo si, las preimágenes de todos conjuntos abiertos del codominio son abiertos en el dominio (resulta bastante simple!). Ahora para usar esa definición en una función cuyo dominio es un subconjunto de un espacio topológico lo usual es usar la "topología heredada" en el dominio, (que es, básicamente, llamar abierto a los subconjuntos del dominio que son intersecciones de algún abierto del espacio topológico con el dominio en cuestión). Esta definición general de continuidad es equivalente a la continuidad que se deduce de la primera de las dos definiciones de límite anterior.

Otras definiciones de límite de funciones (usando con sucesiones etc...) suelen coincidir también con la primera de las dos que puse, por lo que yo la considero mas "correcta" en algún sentido.

Un abrazo.

(20/4) Edición: corregí varios errores de tipeo y detalles en las definiciones. Entre otras pifia, había puesto "f(x_0)" (?) en lugar de b, el valor del límite. Disculpas, no tueve tiempo de releer y revisar antes.

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Otro contraejemplo sencillo sería:

\( \begin{align*}
f:&[-1,0]\cup(1,2]\to[0,4]\\
f(x)&=x^2
\end{align}
 \)

Su inversa no es continua en x=1, resulta:
\(
f^{-1}:[0,4]\to[-1,0]\cup(1,2]\\
f(x)=
\begin{Bmatrix}
-\sqrt{x} & \mbox{si }x\in[0,1]}\\
\sqrt{x} & \mbox{si }x\in(1,4]\\
\end{matrix}
 \)


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Hola zixale!

El código en latex de \( \pi \) es \pi.

Ojo, no es cierto eso que afirmás. En realidad el límite ese no existe.

Mirá cómo el gráfico de la tangente no tiende a nada concreto cuando x se hace grande:



En cambio lo que sí vale es:
\( \displaystyle\lim_{x\to+\infty}arctan(x)=\frac\pi2 \)



La función arcotangente (arctan) es la inversa del pedacito la función tangente restringida a \( (-\frac\pi2;\frac\pi2) \).

Es decir, la inversa de:



Un abrazo.

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Hola Lolyta,

Una homotecia es una función cuya fórmula puede escribirse así:

\( H_{O,\beta}(X)=\beta(X-O)+O} \)

Es entonces cuestión de hacer explícitamente la composición de funciones y ver que queda como quieres:

Recuerda también que \( \overrightarrow{O'O}=O-O' \)

(Nota: con latex puedes usar \overrightarrow{AB} para lograr \( \overrightarrow{AB} \)).

Spoiler
\(
\begin{align*}
\left(H_{O,\beta}\circ H_{O',\beta'}\right)(X)&=H_{O,\beta}\left(H_{O',\beta'}(X)\right)=\\
&=H_{O,\beta}\left(\beta(X-O')+O'\right)=\\
&=\beta\left(\beta'(X-O')+O'-O\right)+O=\\
&=\beta\beta' X+ (1-\beta'\beta)O' + (1-\beta)O\\
\end{align}
 \)

Ahora es cuestión de "sumarle y restarle a X" el centro de homotecia que te proponen...
\( O''=O'+\frac{1-\beta}{1-\beta\beta'}\overrightarrow{O'O} \)

Y tratar de simplificar...

[cerrar]

10
Hola Gian Marcos,

Depende un poco de qué cosas ya tenés probadas.

Una ayuda es observar que \( \displaystyle\mathbb Z[x]=\{0\}\bigcup\bigcup_{k\in\mathbb N_0}\{p\in\mathbb Z[x]/\textsf{gr}(p)=k\} \) y cada uno de los conjuntos que estás uniendo es enumerable.


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En realidad releyendo lo que hiciste me parece entenderlo, y no está mal. No estás siguiendo exactamente el plan que te propuse (que es lo que yo hago en el mensaje anterior) pero lo que dices es una alternativa perfectamente válida y no te embrollas nada -aunque sí se podría simplificar un poquito el razonamiento para hacer mas fácil la lectura.


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Citar
Para todo \( \epsilon>0 \), llamemos \( \delta(\epsilon) \) a un número positivo tal que \( \forall j,|x-x_0|<\delta(\epsilon) \Rightarrow |g^j(x)-g^j(x_0)|<\epsilon \). (*)

Aquí puedo considerar que \( \delta(\epsilon)<\epsilon,  \)¿verdad?

Tienes razón, eso tendría que haberlo aclarado. Queda así si consideras que también debe valer la implicación cuando j=0.

No me queda del todo claro que esté bien el final de tu razonamiento aunque te aproximas bastante.

Cita de: ismael4790
Citar
Ahora muestra que \( \displaystyle d(\epsilon)=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon))\} \) puede ser el d que menciona la propiedad.
Por ser \( d(\epsilon) \) ese mínimo, es el menor de todos los \( \delta(d_j(\epsilon)) \), y por lo anterior, también menor que todos los \( d_j(\epsilon) \)

Ahora, queremos ver si \( |x-x_0|<d(\epsilon)\Rightarrow |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \).
Si \( m\leq{}k \), entonces como \( d(\epsilon)<d_j(\epsilon) \forall{j} \),tendríamos por lo siguiente:

Citar
\( |x-x_0|<d_j(\epsilon) \Rightarrow |f^j(x)-f^j(x_0)|<\epsilon \)
que \( |f^m(x)-f^m(x_0)|<\epsilon \).

Hasta aquí todo bien.

Cita de: ismael4790
Por otro lado, si \( m>k \), entonces \( m=qk+r \) con \( r<k \) y  \( q>0 \).

Tenemos \( |f^m(x)-f^m(x_0)|=|f^{kq}(f^r(x))-f^{kq}(f^r(x_0))|=|g^q(f^r(x))-g^q(f^r(x_0))| \)


No está mal pero yo armaría la composición al revés, porque armándola así no veo cómo seguir (y me parece que te embrollas también):

\( |f^m(x)-f^m(x_0)|=|f^r(g^q(x))-f^r(g^q(x_0))| \)

De esta manera se puede razonar así: si \( |x-x_0|<d\leq\delta(d_r(\epsilon)) \) entonces \( |g^q(x)-g^q(x_0)|<d_r(\epsilon) \) y entonces, \( |f^r(g^q(x))-f^r(g^q(x_0))|<\epsilon \)

Un abrazo.

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Cálculo 1 variable / Re: Punto fijo
« en: 07 Noviembre, 2010, 10:53 pm »
Perfecto!

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Cálculo 1 variable / Re: Punto fijo
« en: 07 Noviembre, 2010, 10:20 pm »
Hola Petra!

Toma \( d,e\in[a,b] \) tales que g(d)=0 g(e)=1. Considera la función h=f-g en el intervalo [e,d] (o [d,e] si d<e) y recuerda el teorema de Bolzano.

Un beso.

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Hola Ismael,

Supongamos que f cumple la definición.
Para todo \( \epsilon>0 \), llamemos \( \delta(\epsilon) \) a un número positivo tal que \( \forall j,|x-x_0|<\delta(\epsilon) \Rightarrow |g^j(x)-g^j(x_0)|<\epsilon \).
También llamemos \( d_j(\epsilon) \) a los números positivos tales que \( |x-x_0|<d_j(\epsilon) \Rightarrow |f^j(x)-f^j(x_0)|<\epsilon \) -estos números existen porque \( f \) (y por lo tanto las \( f^j \)) es continua en \( x_0 \).

Ahora muestra que \( \displaystyle d(\epsilon)=\min_{1\leq j\leq k}\{\delta(d_j(\epsilon))\} \) puede ser el d que menciona la propiedad.

(Un detalle, es preferible que las fórmulas en latex las escribas todas de corrido, antes que abrir y cerrar los tags [tex][/tex] muchas veces en la misma).

Saludos.

Perdón, publiqué esto originalmente con varios errores -todo mal, bah- que corregí al releer.

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Matemática Aplicada / Re: Juego de la ruina
« en: 07 Noviembre, 2010, 08:53 pm »
Hola waky.

En el enlace que puse antes (Ejercicio de urnas) discutíamos -para decirlo de forma resumida- cómo contar de cuantas maneras se pueden poner n paréntesis abiertos '(' y n paréntesis cerrados ')' de forma gramatical -es decir que si tomas los primeros k símbolos siempre haya mas paréntesis abiertos que cerrados.

Esto está muy relacionado con lo que preguntas porque si tomas todas las tiradas de moneda salvo la última y consideras que '(' significa ganar y ')' perder tienes una de esas 'maneras'.

Ahora en ese hilo en realidad en lugar de paréntesis usaba las letras 'B' y 'N', como tú usas 'G' y 'F'.
Lo que hice fue observar todos los arreglos posibles -hagamos un ejemplo con 2 G y 2 F y contando la cantidad de 'alteraciones' que tienen... es decir la cantidad de veces que la j-ésima F aparece antes que la j-ésima G.

GGFF -> 0 alteraciones
GFGF -> 0 alteraciones
GFFG -> 1 alteración
FGGF -> 1 alteración
FGFG -> 2 alteraciones
FFGG -> 2 alteraciones

Como se ve en el ejemplo, parece haber la misma cantidad de arreglos con 0, 1 o 2 alteraciones (en este caso 2 de cada tipo). En el enlace lo que hacía es demostrar que es así siempre.

Como en total hay \( \displaystyle \binom{n-1}{\frac{n-1}2} \) arreglos posibles, puede haber de 0 a (n-1)/2 alteraciones y hay -de nuevo- la misma cantidad de arreglos que tienen cada cantidad de alteraciones resulta que en total hay \( \displaystyle\frac{\binom{n-1}{\frac{n-1}2}}{\frac{n{\red+}1}2} \) arreglos que tienen 0 alteraciones, la misma cantidad de arreglos con 1 alteración, etc...

El número H que estás buscando es, justamente, la cantidad de 'arreglos con 0 alteraciones'.

No se si hay una forma mas sencilla de pensarlo -¡probablemente sí!

Un abrazo.

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Matemática Aplicada / Re: Juego de la ruina
« en: 06 Noviembre, 2010, 09:09 pm »
Entonces ¿Quien seria H para la probabilidad cuando n=t?

Saludos.

Como decís es 0 si n es par.

Si n es impar vale \( \displaystyle H=\frac2{n+1}\binom{n-1}{\frac{n-1}2} \).

Hicieron una pregunta parecida hace unos años. Lamentablemente lo que hablamos en ese momento se perdió en un accidente del server, se conservan sólo los últimos mensajes en Ejercicio de urnas. (Adapté el resultado ese a los términos en que hiciste vos la pregunta).

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Complemento ortogonal
« en: 24 Agosto, 2010, 07:41 pm »

Atención Bob, en realidad cometí un error en las cuentas (fijate que está corregido) pero esos valores salen de resolver el sistema de ecuaciones. No hay "que verlos" así de la nada

Para resolver,
\(
\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2-x_3+x_4&=0\\
2x_1+x_2-x_3+3x_4&=0\\
\end{matrix}\right.
 \)

Puedes utilizar, por ejemplo, el método de Gauss, (¿lo conoces?)

Si lo haces llegarás a:

\(
\left\{\begin{matrix}
x_1+2x_4&=0\\
x_2-x_3-x_4&=0\\
\end{matrix}\right.
 \)

que equivale a

\(
\left\{\begin{matrix}
x_1=-2x_4\\
x_2=x_3+x_4\\
\end{matrix}\right.
 \)

Y por eso digo que,

\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=(-2x_4,x_3+x_4,x_3,x_4) \)

Saludos.

19
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Complemento ortogonal
« en: 24 Agosto, 2010, 06:52 pm »
Hola de nuevo.

Bueno, ahora los vectores (1,0,0,-2) y (2,0,0,-4) que elegiste son linealmente dependientes, así que tu L tiene dimensión 1 y \( L^{\perp} \) tendría dimensión 3.

Voy a hacer la parte de calcular el complemento ortogonal con los dos generadores que habías dado originalmente:

\( L=\left<{(1,1,-1,1);(2,1,-1,3)}\right> \)

Spoiler

Buscamos los vectores que son ortogonales a todos los vectores de L. En particular tienen que ser ortogonales a (1,1,-1,1) y (2,1,-1,3) (y además alcanza con eso, porque si es perpendicular a esos dos también lo será a cualquier vector de L, que es combinación lineal de esos dos).

Lo que buscamos es un (x1,x2,x3,x4) tal que,

\(
\left\{\begin{matrix}
(x_1,x_2,x_3,x_4)\cdot(1,1,-1,1)&=0\\
(x_1,x_2,x_3,x_4)\cdot(2,1,-1,3)&=0\\
\end{matrix}\right.
 \)

Es decir, tenemos que resolver el sistema,

\(
\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2-x_3+x_4&=0\\
2x_1+x_2-x_3+3x_4&=0\\
\end{matrix}\right.
 \)

Antes de resolverlo ya hay una manera de expresar cual es \( L^\perp \)... es la solución de ese sistema de ecuaciones lineales homogéneas. Pero también, resolviendo el sistema, queda que

\( (x_1,x_2,x_3,x_4)=({\color{brown}-2}x_4,x_3{\color{brown}+x_4},x_3,x_4)=x_3(0,1,1,0)+x_4({\color{brown}-2,1},0,1) \)

En definitiva \( L^{\perp}=<(0,1,1,0),(-2,1,0,1)> \)

Ahora faltaría ver qué combinación de (1,1,-1,1),  (2,1,-1,3), (0,1,1,0) y (-2,1,0,1) es el (2,0,0,8)... así podrás escribirlo como suma de un vector de \( L \) con uno de \( L^\perp \).

[cerrar]

Saludos, espero que te sirva.

CORRECCION EN LAS CUENTAS

20
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Complemento ortogonal
« en: 24 Agosto, 2010, 05:21 pm »
Hola Bob,


Si \( L=\left<{(1,1,-1,1);(2,1,-1,3)}\right> \) (se lée "el subespacio generado" por los vectores ...)

Entonces los vectores que das para \( L^\perp \) no son correctos. Los vectores de \( L^\perp \) deben ser perpendiculares a todos los de \( L \), no sólo a uno de ellos.

Puedes hacer las cuentas con los vectores dados (busca todos los \( v\in\mathbb R ^4 \) que son perpendiculares a todos los vectores de L -tienes que resolver un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas).

Si tienes libertad te recomiendo elegir vectores mas simples, con mas ceros, para facilitarte la tarea que sigue.

Una vez que tengas los dos subespacios (ambos de dimesión 2) puedes ver qué combinación de los cuatro generadores da (2,0,0,8), por ejemplo (esto se puede hacer de varias maneras, la mas básica pero no la mas corta, es escribir la combinación lineal genérica y resolver el sistema. Si haces eso te muestro después un atajo.)


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