Hola
\( \vec\varphi(u,v)=(\varphi_1,\varphi_2) \). Si se pide \( \varphi_u \), ¿a quién hace referencia, a \( \varphi_{1_u} \) o \( \varphi_{2_u} \)? Las derivadas primeras son cuatro, a diferencia del campo escalar que son dos, donde sí tiene sentido (para mí) hablar de \( \varphi_u \) o \( \varphi_v \).
En realidad \( \varphi \) va de un abierto de \( \mathbb{R}^2 \) en \( \mathbb{R}^3 \) así que en todo casó será:
\( \varphi(u,v)=(\varphi_1(u,v),\varphi_2(u,v),\varphi_3(u,v)) \)
Ahora \( \varphi_u \) es un vector: tendrá tres componentes:
\( \varphi_u=((\varphi_1)_u,(\varphi_2)_u,(\varphi_3)_u) \)
Por ejemplo en nuestro caso:
\( \varphi_u=\left(1,1,\dfrac{v-2u}{\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}\right) \)
Saludos.