Hola
Me refiero a que al mapear el ángulo \( -\frac{\pi}{4} < \text{Arg}(z) < -\frac{\pi}{2} \) al semiplano \( \text{Re}(w) > 0 \)
las semirrectas \( z=r\,e^{-i\frac{\pi}{4}} \) y \( z= i\,r \) irán a parar al eje imaginario, pero esto no puede ocurrir con una dilatación+traslación.
No se si no te entiendo yo a ti, o no me entiendes tu a mi. ¡O las dos cosas!.
Lo único que he pretendido es que ahora su problema sea:
Encontrar una transformación conforme que lleve la franja
\( -\dfrac{\pi}{2}<arg(w)<\dfrac{\pi}{2} \) en \( Re(w)>0 \), cumpliendo además:
\( w(\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3}i-\dfrac{\pi}{6})=2 \)
\( w(\dfrac{4}{3}+\dfrac{\pi}{6})=1 \)
\( w(-\dfrac{\pi}{6}i)=0 \)
Que esencialmente sólo difiere del original en que ahora la franja a transformar va de \( -\pi/2 \) a \( \pi/2 \).
Insisto en que mi motivación para dar está indicación es que parecía que ese detalle sobre el rango de la franja era lo que diferenciaba su ejercicio de otros que si sabía hacer.
El siguiente paso natural sería aplicar:
\( g(z)=e^{z} \)
Con lo cual la imagen ya es el semiplano \( Re(w)>0 \).
El problema sería ahora ajustar los puntos. Ahí hay algo raro, porque pide llevar el \( 0 \) que no está en la frontera de la región original en el \( 0 \) que SI está en la frontera de la región imagen. O estoy entendiendo algo mal, o eso no es posible (es decir \( Re(w(0))=0 \) no cumpliría \( Re(w)>0 \)).
Saludos.