[sofista]

Hola:

Un problemilla para que se entretengan:

Mostrar alguna función f(x) que sea estrictamente creciente y continua, para la cual f(0) = 1 y tal que no existen números racionales, r > 0, s < 0 para los cuales f(s) + f(r) = 2 (y tal que la demostración de este hecho pueda hacerse de manera elemental).

(La función exponencial parece cumplir todas estas condiciones, pero la demostración de ello no es elemental).

Saludos,

sofista

[xhant]

Fijate si esta funcion te sirve.

Sea f(t) = 1, si t >= 0, y f(t) = 0, si t < -1, y la pegamos con una recta para que sea continua. Funciona y no hay nada que probar.

Probablemente digas que no es diferenciable, pero la forma de pegar la funcion se puede hacer, de modo que te quede una funcion infinitamente diferenciable.

[sofista]

Hola xhantt y todos:

No tengo objeciones a que la función no sea diferenciable, de hecho el ejemplo que yo encontré no lo es.

Pero, por otra parte, la función que has definido no es estrictamente creciente, como pedía el problema.

De alguna manera la idea es que existan infinitos pares (r,s) de números de diferente signo tales que f(r) + f(s) = 2, pero que en ningún caso r y s sean ambos racionales.

Con f continua, estrictamente creciente y f(0) = 1 estas condiciones (excepto la última, que no sean racionales) quedan aseguradas.

Cordiales saludos,

sofista

[maxi]

Te vale la función f(x)=x2+1

[sofista]

Hola:

No estoy seguro de entender la notación. Si x2+1 significa "x al cuadrado, más 1" entonces tampoco es estrictamente creciente.

Cordiales saludos,

sofista

[xhant]

Sabia que mi funcion no servia, pero no tenia idea de por que (era demasiado sencilla).

A parte de eso, en el primer post decis que tiene que tener una demostracion elemental, mi pregunta es que significa elemental para vos.

Otra funcion, a ver si esta sirve. Sea f(t) = t + 1, si t > 0 y f(t) = sqrt(2) t + 1, si t < 0. Es continua, f(0) = 0, es creciente, hay infinitos r > 0, s < 0, tal que f(r) + f(s) = 2. Veamos que no pueden ser ambos racionales. Claramente r y s no pueden tener el mismo signo. Entonces f(r) + f(s) = r + 1 + sqrt(2) s + 1 = 2, esto me dice que r + sqrt(2) s = 0. Listo.

Te doy otra demostracion, para la funcion exp.

Un teorema de Lindeman-Wieirstrass que dice que si tengo a_1, ..., a_n, numeros algebraicos distintos entonces exp(a_1), ..., exp(a_n), son algebraicamente independientes (se deberia enseñar en un curso de teoria de cuerpos, se usa para ver que e y pi no son algebraicos).

Ahora en nuestro caso tomamos r, s, y 0, segun las hipotesis son distintos, entonces exp(r), exp(s) y exp(0) = 1 son algebraicamente independientes. Pero entonces exp(r) + exp(s) - 2 exp(0) = 0 no puede ser.

[sofista]

Hola:

Tu función es la misma que yo había pensado.

En general, se llama elemental a una demostración que sólo utiliza las herramientas básicas del tema en que está enmarcada sin apelar a teoremas sofisticados ni a "herramientas de alto nivel".

"Elemental" no es necesariamente sinónimo de "fácil" (en muchios casos pueden ser opuestos).

Me parece recordar que Paul Erdös (creo que en colaboración con alguien más) publicó alguna vez una demostración elemental (y difícil) del teorema de los números primos (ése que dice que la cantidad de primos entre 1 y n se acerca asintóticamente a n/ln(n)). Me parece recordar también que hasta entonces casi nadie creía que fuera posible hallar una demostración elemental de ese teorema.

Saludos,

sofista