Hola, como no puedo evitar ser físico, mi "solución" se basa en un principio de este tipo.
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Supongamos que los lados del cuadrilátero son especulares (reflejan la luz ) y con un láser queremos lanzar un rayo desde un punto de un lado de tal manera que se refleje en cada lado y regrese al origen, ¿que pasa con la distancia recorrida por el rayo?, según el Principio de Fermat , la luz al propagarse por varios medios elige el camino de mínimo tiempo empleado, en este caso se puede decir que la trayectoria del rayo es mínima.
Basado en esto, la luz el regresar al punto P de partida recorre distancia mínima.
La solución es recrear ese rayo, teniendo en cuenta que según el teorema de Snell todo rayo reflejado en espejo perfecto el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.
Con todo ello lo vemos con un dibujo.
Donde \( P' \) y \( P'_1 \) son las reflexiones axiales de P respecto a los segmentos BC y AD respectivamente y P'' el reflejado de P' sobre el segmento CD.
Es fácil ver así que los ángulos de incidencia y reflejados en los lados son iguales.
Solo falta un "sutil detalle", que se demuestre con geometría esta solución.
Saludos.
¿Como se escoge el primer ángulo?
Realmente todos los ángulos se calculan a la vez.
Te explico en este espoiler un problema similar , la reflexión sobre el primer lado, suponiendo conocido el punto del 2º lado donde se refleja.
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Queremos lanzar un rayo de tal manera que partiendo del punto M llegue al punto N reflejado en un segmento KL
Para ello reflejamos el punto N sobre el segmento KL dándonos el punto N', así construido los triángulos ONL y ON'L Son congruentes 2 lados iguales formando 90º. por tanto los ángulos \( \theta \) e \( i \) , son iguales.
De igual manera \( \eta \) es igual a \( \theta \) por ser opuestos por el vértice.
Para el resto de lados del cuadrilátero he procedido igual. He calculado los puntos reflejados \( P \), \( P' \) y \( P'_1 \) y tambien el reflejado de P' sobre el lado CD que es P'' y he impuesto que el ángulo incidente y reflejado sobre CD sean iguales uniendo los puntos \( P'' \) con \( P'_1 \)
Saludos.
Hola, aquí dejo ese sutil detalle que me falto:
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Sea G el punto sobre el segmento CD (opuesto del de partida ) que es solución del problema de camino mínimo.
Veremos que para el lado superior, BC, el punto "E" que determina la distancia mínima de P al punto G sobre CD, es tal que los ángulos de incidencia y reflejados son iguales.
Supongamos que El camino seguido por el rayo fuera el que se refleja en el segmento BC en el punto H, por ser P' reflejado sobre BC de P, \( |PE|=|P'E| \) y también \( |PH|=|P'H| \) . Por la desigualdad triangular \( |P'G|<|P'H|+|HG|\Leftrightarrow{}|PE|+|EG|<|PH|+|HG| \)
El mismo razonamiento se puede aplicar al resto de lados.
Saludos.
P.D.: De algo me tendría que servir la Física.
Se da un punto P sobre un lado de un cuadrilátero abcd.
Hallar el camino mínimo que, partiendo de P, vuelve al mismo punto después de haber encontrado los otros tres lados.
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A reflexionar tocan ... :)
Saludos,
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A reflexionar tocan ... :)
Saludos,
:D :D :D
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Yo ya me canse de reflexionar, no se como lo hago pero siempre que reflexiono sobre este problema vuelvo al punto de partida. Desisto.
P.D.: Cuando termine este mensaje ya has publicado Ignacio tu solución, siempre más elegante que la mía. Pensé que lo de reflexionar lo decías con doble sentido ó quizas triple.
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A reflexionar tocan ... :)
Saludos,
:D :D :D
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Yo ya me canse de reflexionar, no se como lo hago pero siempre que reflexiono sobre este problema vuelvo al punto de partida. Desisto.
P.D.: Cuando termine este mensaje ya has publicado Ignacio tu solución, siempre más elegante que la mía. Pensé que lo de reflexionar lo decías con doble sentido ó quizas triple.
Iba con triple sentido claro ... pero cuando lo envié pensé que nadie habia enviado aún ninguna respuesta, estimado colega (yo también soy físico).
Saludos reflexivos ...
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No sé ustedes, pero yo nunca me pude subir a un cuadrilátero... Ni siquiera me paré en uno de sus lados conociendo un punto donde pueda empezar a ver la "pelea" :P :P