[Hauss]

Hola, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Probar que si A es un subconjunto de un espacio metrico \( (X, d) \),
entonces la familia

{\( A°, Fr(A), (X-A)° \)}

forma una partición del espacio X.

Donde \( A°, Fr(A) \) representan el interior de A y la frontera de A respectivamente.

Mi problema se presenta al tratar de probar que la unión me da el conjunto, les agradecería si me pueden ayudar con eso por favor.

[geómetracat]

Dado un punto \( x \in X \) o bien tiene un entorno abierto contenido en \( A \) (y entonces \( x \in A^\circ \)), o bien tiene un entorno abierto contenido en \( X - A \) (y entonces \( x \in (X-A)^\circ \)) o bien todo entorno abierto contiene puntos tanto de \( A \) como de \( X-A \) (y entonces \( x \in Fr(A) \)).