[Hauss]

Hola, que tal, necesito ayuda para resolver el siguiente problemas de trayectorias:

" Para \(  \overrightarrow{r}(t)=(sin2t,ln(1+t),t) \), verificar que \( \overrightarrow{r´´}(t) \) apunta en dirección opuesta a \( \overrightarrow{r}(t) \) "

La ayuda que necesito es, ¿cómo sé cuando dos trayectorias tienen direcciones opuestas?

Lo he tratado de imaginar geometricamente pero no se me ocurre mucho, pensé en buscar el angulo que se formaba entre las dos pero me daban cosas raras... les agradeceria mucho me pudieran orientar.

[Abdulai]

Dos vectores son paralelos si  \( \vec{r_1}\times \vec{r_2} = \vec{0} \)

Para ver si son direcciones opuestas luego basta analizar el signo de \( \vec{r_1} \cdot \vec{r_2} \)

Pero hay algo raro porque la primer condición no se cumple.

[Hauss]

Para ver si son direcciones opuesta basta analizar el signo de \( \vec{r_1} \cdot \vec{r_2} \)

¿El signo del producto interno debe ser negativo?

[delmar]

Hola

Dos vectores \( \vec{r_1},\vec{r_2} \) tienen direcciones opuestas, si el ángulo entre ellos es 180º, existe una relación entre el producto interno de dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos :

\( \vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}= \left\|{\vec{r_1}}\right\| \  \left\|{\vec{r_2}}\right\| \ cos \theta \), donde \( \theta \) es el ángulo. En consecuencia el ángulo entre ellos es 180º cuando \( \displaystyle\frac{\vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}}{ \left\|{\vec{r_1}}\right\| \  \left\|{\vec{r_2}}\right\|}=cos 180º \)

De ahí saca las conclusiones.

Saludos

[Hauss]

Hola

Dos vectores \( \vec{r_1},\vec{r_2} \) tienen direcciones opuestas, si el ángulo entre ellos es 180º, existe una relación entre el producto interno de dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos :

\( \vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}= \left\|{\vec{r_1}}\right\| \  \left\|{\vec{r_2}}\right\| \ cos \theta \), donde \( \theta \) es el ángulo. En consecuencia el ángulo entre ellos es 180º cuando \( \displaystyle\frac{\vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}}{ \left\|{\vec{r_1}}\right\| \  \left\|{\vec{r_2}}\right\|}=cos 180º \)

De ahí saca las conclusiones.

Saludos

De ahí puedo notar que el producto punto debe tener signo negativo, pero en este caso el producto punto me da lo siguiente:

\( \displaystyle\frac{ln(t+1)}{(t+1)^{2}} + 4sin^{2}(2t) \)

Así que no se como interpretarlo, por ello el sentido de mi pregunta.

[Abdulai]

Primero tenés que hacer el producto vectorial para ver si son paralelas.  Después analizar el signo del producto escalar.

También podés hacer directamente  \( \dfrac{\vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}}{\left\|{\vec{r_1}}\right\| \  \left\|{\vec{r_2}}\right\| } \)  y verificar que sea \( -1 \)

Pero eso no se cumple, salvo que el enunciado no esté bien redactado y por sentido opuesto consideren que el ángulo entre ellos sea mayor de 90°.

En ese caso basta comprobar que \( \vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}} \) es negativo \( \forall \; t \ge 0 \)

[Hauss]

Primero tenés que hacer el producto vectorial para ver si son paralelas.  Después analizar el signo del producto escalar.

También podés hacer directamente  \( \dfrac{\vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}}{\left\|{\vec{r_1}}\right\| \  \left\|{\vec{r_2}}\right\| } \)  y verificar que sea \( -1 \)

Pero eso no se cumple, salvo que el enunciado no esté bien redactado y por sentido opuesto consideren que el ángulo entre ellos sea mayor de 90°.

En ese caso basta comprobar que \( \vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}} \) es negativo \( \forall \; t \ge 0 \)

Gracias.