Hola, que tal, espero que estén bien, podrían ayudarme con lo siguiente por favor:

Sean \( (X, d_{x}) \) y \( (Y, d_{y}) \) espacios métricos. Si existe una función \( f : X → Y  \) tal que \(  d_{x}(x,x′) = d_{y} (f(x),f(x′)) \) para cada \( x,x′ ∈ X \), pruebe que entonces X es isométrico a un subespacio de Y.

Mi problema es, conozco la definición de isometría, y me parece que es prácticamente la misma, pero no se como argumentar, o que hacer para poder concluir el ejercicio que se me presenta.

Muchas gracias por su ayuda de antemano.

Sobre unión , probamos que dada una familia de subconjuntos conexos con intersección diferente del vacio implica que la unión de la familia es conexa.

Otro fue que todo abierto en \( \mathbb{R} \) es unión numerable de intervalos abiertos.



Con las ideas que me ha planteado usted y Fernando si me queda claro como realizar la demostración, solo que no sé si me la cuente como válida.
¡Muchas gracias.!

Habría manera de demostrarlo usando solo definicion de conexidad (la que me han dado es que es conexo si no es disconexo), lo que sucede es que no he visto conexidad por caminos.

Sigue siendo váldo. Mira Dimension sum formula for subspaces of a infinite dimensional vector space.

Muchas gracias.

Si dibujas las región podrás ver que en \( 0\leq\varphi\leq \dfrac{\pi}{3} \)

El borde derecho son puntos talles que.   \( cos(\varphi)=\dfrac{\frac{1}{2}}{r} \)

Por lo que \( r=\dfrac{\frac{1}{2}}{cos(\varphi)} \)


Por lo que la integral queda como la suma de dos integrales

\( \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\int_{0}^{\frac{\frac{1}{2}}{cos(\varphi)}}f(r,\varphi)drd\varphi+\int_{\dfrac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}f(r,\varphi)drd\varphi \)

Revisa

Saludos

Efectivamente, acabo de revisar, muchas gracias por la ayuda.

Hola, necesito ayuda con la integral de la foto, solo tengo una duda en la región, tenemos que \( 0\leq{x} \leq{1/2}, 0 \leq{y} \leq{ \sqrt (1-x^{2})} \), pero no sé como hacer para cambiarla a polares, lo que tengo es que \(  0 \leq{r} \leq{1}  \) pero no sé como encontrar la región para el ángulo.

Nota: la integral se adjunta en la foto.

2.- Calcular cambiando a coordenadas polares.

\( \displaystyle\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}xy\sqrt{x^2+y^2}dydx \)

Hola, ayuda con el siguiente problema, por favor:

“Considera Mat(2,2) el conjunto de matrices con coeficientes reales de 2 x 2. Identifica cada matriz
\( X=\begin{bmatrix}{x_{1}}&{x_{2}}\\{x_{3}}&{x_{4}}\end{bmatrix} \) con un vector \(  \vec{x}=(x_{1},  x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in{\mathbb{R^{4}}} \),

A) describe explícitamente las componentes de la función \( f: Mat(2,2)\rightarrow{Mat(2,2)}, f(X)=X^{2} \) donde \( X^{2}=X\cdot{X} \) denota multiplicación de matrices. Escribe la matriz derivada \( Df_{x} \).

B) verifica que \( f(I)=I \) y que es un difeomorfismo local de una vecindad de la matriz identidad I a una vecindad de I.

C) verifica que \( f(E)=I \) pero no es localmente invertirle en una vecindad de la matriz \( E=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{bmatrix} \).”

Hola Luis

Cita de: Luis Fuentes en 06 Marzo, 2020, 08:38 am

¿Qué resultados previos puedes usar?. En principio mira por aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/2524150/show-that-a-smooth-map-f-mathbbrm-to-mathbbrn-for-mn-cannot-be-inje?rq=1

https://math.stackexchange.com/questions/1851644/non-existence-of-c1-injective-mapping-mathbbr3-to-mathbbr2?rq=1

Yo interpreto al enunciado con un cuantificador existencial, por ese "Probar que UNA función...":

"Probar que existe una función de clase \( C^{1}, f: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow{\mathbb{R}^{m}} \) con \( m<n \) que no puede ser inyectiva"

Así que habría que buscar una función que cumpla lo pedido y no probarlo de forma genérica.

¿O en realidad es un "Para todo"? ¿Cómo lo hacés notar?

Gracias!!
Saludos

Hola, según a lo que entendí de mi profesor es un para todo, o sea, que no existe ninguna función con esas características; si tuvieran algún contra ejemplo les agradecería o si me pudieran orientar en la demostración de igual manera, gracias.

Hola qué tal, me podrían ayudar con lo siguiente por favor:

“Probar que una función de clase \( C^{1}, f: \mathbb{R}^{n} \longrightarrow{\mathbb{R}^{m}} \) con \( m<n \) no puede ser inyectiva.”

Hola

Dos vectores \( \vec{r_1},\vec{r_2} \) tienen direcciones opuestas, si el ángulo entre ellos es 180º, existe una relación entre el producto interno de dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos :

\( \vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}= \left\|{\vec{r_1}}\right\| \  \left\|{\vec{r_2}}\right\| \ cos \theta \), donde \( \theta \) es el ángulo. En consecuencia el ángulo entre ellos es 180º cuando \( \displaystyle\frac{\vec{r_1}\cdot{\vec{r_2}}}{ \left\|{\vec{r_1}}\right\| \  \left\|{\vec{r_2}}\right\|}=cos 180º \)

De ahí saca las conclusiones.

Saludos

De ahí puedo notar que el producto punto debe tener signo negativo, pero en este caso el producto punto me da lo siguiente:

\( \displaystyle\frac{ln(t+1)}{(t+1)^{2}} + 4sin^{2}(2t) \)

Así que no se como interpretarlo, por ello el sentido de mi pregunta.