1) No sé si el \( g(x) \) encontrado es el correcto.
No he hecho los cálculos pero la cosa sería así: hallas un polinomio \( p:\Bbb R\to \mathbb{R} \), de tercer grado vale en este caso es suficiente, que tome máximos relativos en \( r_1^2 \) y \( r_2^2 \), que sea monótono en \( [r_1^2,r_2^2] \) y que \( p(r_1^2)=0 \) y \( p(r_2^2)=1 \). Ahora modificas \( p \) con funciones constantes a los lados de \( r_1^2 \) y \( r_2^2 \), es decir definimos
\( \displaystyle{
q(t):=\begin{cases}
p(t),& t\in[r_1^2,r_2^2]\\
0,& t<r_1^2\\
1,& t>r_2^2
\end{cases}
} \)
Ahora compones \( q \) con la función \( f(x):=\|x-x_0\|^2=\langle x-x_0,x-x_0 \rangle \) la cual es continuamente diferenciable, et voilá!
2) ¿Por qué tomar \( g(\left |{x}\right |) \) y no \( g(x) \)?
La función \( g \), si es una función real, no puede tomar vectores como argumento, tendrás que componerlo con otra función \( \mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \) para que tenga sentido.
3) ¿Cómo paso del caso \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) al caso \( f:\mathbb{R^n}\rightarrow{\mathbb{R}} \)?
Creo que con la descripción de antes te habrá quedado claro. Para ver que la función \( q\circ f \) es válida comprueba que se ajusta a lo pedido.
Corrección: originalmente había definido todo utilizando \( r_1 \) y \( r_2 \) en vez de \( r_1^2 \) y \( r_2^2 \), pero eso no nos dejaría el resultado buscado.
