[geómetracat]

¿Qué quiere decir que una distribución tenga una prolongación analítica?
Es decir, si tienes una función \[ f \] definida en \[ \Bbb R \] una prolongación analítica es una función holomorfa en una región de \[ \Bbb C \] cuya restricción a \[ \Bbb R \] es \[ f \]. Pero con una distribución que no provenga de una función, como la delta de Dirac, no sé darle sentido a la prolongación analítica. El problema es que la restricción de una función holomorfa es una función usual.

[Restituto]

¿Qué quiere decir que una distribución tenga una prolongación analítica?
Es decir, si tienes una función \[ f \] definida en \[ \Bbb R \] una prolongación analítica es una función holomorfa en una región de \[ \Bbb C \] cuya restricción a \[ \Bbb R \] es \[ f \]. Pero con una distribución que no provenga de una función, como la delta de Dirac, no sé darle sentido a la prolongación analítica. El problema es que la restricción de una función holomorfa es una función usual.

Bueno la delta de Dirac no era un ejemplo muy afortunado aquí. Pero por lo que creo entender, que no es mucho, las funciones de Green (propagadores) de teoría de campos se usan para definir productos de operadores que deben conmutar (o anticonmutar) y por tanto anularse en regiones compactas sin ser idénticamente cero, y para ello usan prolongación analítica, lo que no podrían hacer como funciones usuales(no generalizadas).

[geómetracat]

Bueno la delta de Dirac no era un ejemplo muy afortunado aquí. Pero por lo que creo entender, que no es mucho, las funciones de Green (propagadores) de teoría de campos se usan para definir productos de operadores que deben conmutar (o anticonmutar) y por tanto anularse en regiones compactas sin ser idénticamente cero, y para ello usan prolongación analítica, lo que no podrían hacer como funciones usuales(no generalizadas).

Hace mil años que no toco nada de esto, la verdad, así que no sé que decirte. Pero sigo sin ser capaz de darle sentido al concepto "prolongación analítica de una distribución".

De todas maneras, supongo que te refieres a las distintas prescripciones para la función de Green (la prescripción de Feynman, etc.). Por lo que veo, ahí lo que pasa es que se tiene la función de Green como una integral a \[ \Bbb R \] de una función (usual) con dos polos en \[ \Bbb R \], y para darle sentido se extiende la función que integras al plano complejo (pero insisto, esta es una función normal) y se integra rodeando los polos. Según si los rodeas por arriba o por abajo obtienes prescripciones distintas (soluciones distintas para la ecuación de Green).
Pero no veo que se extienda analíticamente la propia función de Green o ninguna distribución.

[Restituto]

Sí, es lo que dices. Mi impresión era que lo que se extiende analíticamente eran las funciones "test" sobre los que actúa  la distribución.

[geómetracat]

Mi impresión era que lo que se extiende analíticamente eran las funciones "test" sobre los que actúa  la distribución.

No creo que funcione porque las funciones test por definición tienen soporte compacto, así que no tienen extensión analítica.

[Restituto]

¿Te refieres a las de distribuciones de Schwartz? Es cierto. Sin embargo las de hiperfunciones son diferentes, sus funciones test han de ser analíticas. Son tipos distintos de distribuciones.

[geómetracat]

Ah, sí, me refería todo el rato a las distribuciones de Schwartz. De hiperfunciones no tengo ni idea.

[Restituto]

Bueno, como decía son las "funciones" del tipo distribuciones típicas usadas en ecuaciones diferenciales, como la función escalón de Heaviside, la delta de Dirac o la función de Green para el operador diferencial de D'Alembert que precisamente su multiplicación da una delta de Dirac para la diferencia de las 2 variables de la función de Green. Estoy seguro de que a muchos matemáticos no aplicados les tienen que sonar. Simplemente como hiperfunciones se definen de una manera un poco especial, para las definidas en la recta real como diferencia de dos funciones holomorfas cada una definida en un semiplano a cada lado de la recta real.

[geómetracat]

Me he estado mirando por encima la teoría de hiperfunciones y se ve muy interesante. Si lo he entendido bien parece que la diferencia con las distribuciones de Schwarz es que las hiperfunciones (de soporte compacto) se pueden pensar como el dual de las funciones reales analíticas, mientras que las distribuciones son el dual de las \[ C^\infty \]. De manera que toda distribución se puede ver como hiperfunción pero no al revés. Mi impresión de todas maneras es que esto de las hiperfunciones, al contrario de las distribuciones de Schwarz, no debe ser muy estándar (quiero decir, no creo que sea la típica cosa que todo analista conoce bien).

Lo que no he visto ni soy capaz de darle sentido es a la prolongación analítica de una hiperfunción (que no sea una función).

[Restituto]

Me he estado mirando por encima la teoría de hiperfunciones y se ve muy interesante. Si lo he entendido bien parece que la diferencia con las distribuciones de Schwarz es que las hiperfunciones (de soporte compacto) se pueden pensar como el dual de las funciones reales analíticas, mientras que las distribuciones son el dual de las \[ C^\infty \]. De manera que toda distribución se puede ver como hiperfunción pero no al revés. Mi impresión de todas maneras es que esto de las hiperfunciones, al contrario de las distribuciones de Schwarz, no debe ser muy estándar (quiero decir, no creo que sea la típica cosa que todo analista conoce bien).

Desde luego no es algo que se encuentre en los libros de texto habituales, y eso que lleva desde el año 1958. Yo lo he descubierto primero intentando descifrar matemáticamente lo que se hace en teoría de campos cuánticos con los propagadores de Feynman y su prolongación analítica(que no se menciona en los libros de texto habituales), y luego porque el libro de Penrose de "El camino a la realidad" que ya he mencionado en otros hilos le dedica 2 secciones, la 9.7 y el final de la 10.5 aunque no en relación directa con los propagadores de Feynman, unido a mi interés general por el análisis complejo

Lo que no he visto ni soy capaz de darle sentido es a la prolongación analítica de una hiperfunción (que no sea una función).

Pero es que la prolongación analítica no sería de la hiperfunción como tal sino la de sus argumentos como funciones test analíticas, ¿no? Al menos en el caso de los propagadores de Feynman en teoría de campos cuánticos libres yo entiendo que la integral 4 dimensional integra contra estas funciones test para cada instante temporal en el plano complejo de momentos, estas funciones test son las que admiten prolongación analítica, y son los inputs de la hiperfunción. El objetivo es cumplir una condición de los campos cuánticos relativistas a la que a veces se llama "microcausalidad" y que implica que la distribución se anule sin ser idénticamente cero y como dijo Carlos, esto es algo que con una función al uso no es posible si se pretende que sea analítica para ciertos valores como allí donde es singular en la recta real.