Rincón Matemático
Matemática => Geometría y Topología => Topología Algebraica => Mensaje iniciado por: Carlei en 11 Octubre, 2018, 03:35 am
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Hola, quisiera saber si me pueden ayudar con una duda.
Todo punto interior es un punto de acumulacion.
Esto es verdadero
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Hola, quisiera saber si me pueden ayudar con una duda.
Todo punto interior es un punto de acumulacion.
Esto es verdadero
No, no es cierto. Fíjate en \( \Bbb N \) con la topología estándar: entonces todo punto de \( \Bbb N \) es interior, pero ninguno es un punto de acumulación ya que para \( \epsilon\in(0,1) \) tenemos que la bola abierta \( \Bbb B(n,\epsilon)=\{n\} \), por tanto la definición de punto de acumulación no se cumple.
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Muchas gracias.
Una ultima duda como demuestro que esta afirmacion es falsa: en un espacio separado todo conjunto infinito es reunion de abiertos.
Dirás unión de abiertos. Por otro lado generalmente se denomina al espacio separable más que separado, aunque quién sabe, quizá ese adjetivo también sea utilizado (separado).
Pues no es muy difícil de demostrar, te basta encontrar un solo contra-ejemplo: \( \Bbb Q \) no es unión de abiertos en la topología estándar de \( \Bbb R \), si lo fuese entonces el conjunto \( \Bbb Q \) sería abierto (por la definición axiomática de topología), pero no lo es ya que ninguno de sus puntos es un punto interior en la topología estándar de \( \Bbb R \).
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Dirás unión de abiertos. Por otro lado generalmente se denomina al espacio separable más que separado, aunque quién sabe, quizá ese adjetivo también sea utilizado (separado).
Una aclaración solamente: un espacio separado es un espacio Hausdorff o T2, no uno separable. Es una terminología que se usa a veces (también en inglés: separated space).
En cualquier caso, el ejemplo sirve igual.
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Dirás unión de abiertos. Por otro lado generalmente se denomina al espacio separable más que separado, aunque quién sabe, quizá ese adjetivo también sea utilizado (separado).
Una aclaración solamente: un espacio separado es un espacio Hausdorff o T2, no uno separable. Es una terminología que se usa a veces (también en inglés: separated space).
En cualquier caso, el ejemplo sirve igual.
Ah, gracias, no tenía ni idea.