Hola
La extensión es \( Q[\sqrt[3]{2},\epsilon] \) siendo \( \epsilon \) una raíz tercera primitiva de la unidad.
El grupo de Galois es el grupo de permutaciones de tres elementos generado por:
\( \sigma: Q[\sqrt[3]{2},\epsilon]\longrightarrow{}Q[\sqrt[3]{2},\epsilon][,\quad \sigma(\sqrt[3]{2})=\epsilon \sqrt[3]{2},\quad \sigma(\epsilon)=\epsilon \)
\( \delta: Q[\sqrt[3]{2},\epsilon]\longrightarrow{}Q[\sqrt[3]{2},\epsilon][,\quad \delta(\sqrt[3]{2})= \sqrt[3]{2},\quad \sigma(\epsilon)=\epsilon^2 \)
con \( \sigma^3=id, \quad \delta^2=id \).
Saludos.
P.D. Mientras escribía esto se me adelantó Bachiller...