[lexis_1960]

Buenos dias, necesito resolver este ejercicio, si alguien puede orientarme se lo agradeceria, muchas gracias


1)   Sea \( (G;*) \) un grupo y sean “a” y “b” dos elementos cualesquiera del mismo. Demuestre que G es conmutativo si satisface las siguientes condiciones:
 \(  a^2  = e\qquad \forall a\in G \)

[J. H. Stgo]

\( (ab)^{2} = e \) implica que \( ab = (ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1} = ba. \)

[lexis_1960]

Muchas gracias.

[Ansony]

Tambien lo puedes hacer asi.

1.si a, b pertenece a G entonces a*b pertenece a G   por que te dice que es un grupo
2. si a*b pertenece a G entonces (a*b)^2 = e          por hipotesis
3. (a*b)^2=(a*b)*(a*b)                                       por propiedad de potencias
4. e = (a*b)*(a*b)                                               sustitucion de 2 en 3
5. a*e = a*(a*b)*(a*b)                                        propiedad cancelativa
6. a = (a*a)*b*(a*b)                                           a^2= e y prop asociativa por que G es un grupo
7. a = e*(b*a)*b                                                 prop asociativa
8. a*b = (b*a)*(b*b)                                           prop cancelativa
9. a*b = b*a                                                       b^2=e
por lo tanto G es abeliano
espero te sirva 

[lindtaylor]

La implicancia hacia el otro lado como sería?

[Tanius]

La implicancia hacia el otro lado como sería?

La otra implicación no es cierta en general. Por ejemplo \( (\mathbb{Z} , +) \) es abeliano, pero no es cierto que para todo \( a\in \mathbb{Z} \), \( a+a=0 \)

[lindtaylor]

Entonces tengo un ejercicio mal tipeado de una guía...