Buenas noches .. por favor ayudeme a resolver este problema: 
Por medio de la definición de derivada, hallar el máximo de la función: \( 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐(𝟏𝟔 − 𝒙^𝟐) \)
Bosquejo de solución: La derivada de una función en un punto máximo o mínimo debe ser 0
\( h\rightarrow0
\):
\( f({\color{blue}x})={\color{blue}x}^{2}(16-{\color{blue}x}^{2})
\)
\( f({\color{blue}x+h})=({\color{blue}x+h})^{2}(16-({\color{blue}x+h})^{2})\Rightarrow
\)
...
\( \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\Rightarrow
\)
\( \dfrac{({\color{blue}x+h})^{2}(16-({\color{blue}x+h})^{2})-{\color{blue}x}^{2}(16-{\color{blue}x}^{2})}{h}\Rightarrow
\)
Esto opéralo así, multiplica por la distributiva el primer sumando
\( \dfrac{16({\color{blue}x+h})^{2}-({\color{blue}x+h})^{4}-{\color{blue}x}^{2}(16-{\color{blue}x}^{2})}{h}\Rightarrow
\)
\( \dfrac{16({\color{blue}x+h})^{2}-({\color{blue}x+h})^{4}-16x^{2}+x^{4}}{h}
\)
Ahora al desarrollar el primer paréntesis y al multiplicar todo por 16 te va a salir un \( 16x^{2}
\) que se te va con el otro negativo; y al desarrollar el segundo paréntesis te sale un \( -x^{4}
\) que también te cancela el otro. De esta forma todos los sumandos de quedan multiplicados por potencias de “h”; y ya sólo cancelas con el “h” del denominador y calculas haciendo h=0; y ahí ya tienes la cuenta de lo que es la derivada.
Ahora tienes que igualarla a cero y despejar "x". En ese valor puede haber un máximo o un mínimo; si la segunda derivada da negativa, entonces es un máximo.
Spoiler
Esto nunca se dice porque se supone que lo sabe todo el mundo, pero a lo mejor no es así y conviene recordarlo alguna vez, porque nunca lo recuerda nadie, que yo haya visto:
Para desarrollar cómodamente el binomio de grado cuatro y que no te sea pesado multiplicando paréntesis o hallando combinaciones, te dibujas un triángulo de Pascal
\(
\begin{array}{ccccccccc}
& & & & 1\\
& & & 1 & & 1\\
& & 1 & & 2 & & 1\\
& 1 & & 3 & & 3 & & 1\\
1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1
\end{array}
\)
Se forma así: vas poniendo un 1 y debajo dos unos a los extremos hasta que tengas 4 filas debajo del primer 1 (porque en este caso el grado es 4). Después, debajo y en medio de los dos que están a cada lado arriba, escribes las sumas de ésos de arriba; así ves que si arriba hay un 1 y un 3, debajo y en medio de los dos, va un 4; si hay dos treses, va un seis... Es muy rápido de hacer para grados como 4, 5, 6..., mucho más rápido que multiplicar o hallar combinaciones.
La última fila, 1,4,6,4,1 van a ser los coeficiente por orden; es decir, según el binomio de Newton tenemos los sumandos ordenados así según sus potencias:
para \( (x+h)^{4}
\) tomamos la potencia más alta,4, y se la ponemos a la x, y la más baja, cero, a la “h”; y después vamos aumentando la potencia de “h” y disminuyendo la de “x” sucesivamente; así:
\( x^{4}h^{0},x^{3}h^{1},x^{2}h^{2},x^{1}h^{3},x^{0}h^{4}
\)
Como al elevar a cero es uno, queda \( x^{4},x^{3}h^{1},x^{2}h^{2},x^{1}h^{3},h^{4}
\).
Y a ésos elementos les pones delante los coeficientes 1,4,6,4,1 del triángulo Pascal, en su orden, y sumas lo términos
\( x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}
\)
\( (x+h)^{4}=x^{4}+4x^{3}h+6x^{2}h^{2}+4xh^{3}+h^{4}
\).
De este modo, la única operación pesada que tiene este ejercicio, tampoco es pesada ya.
Saludos.
