[Farifutbol]

El vuelo Madrid Lisboa pasa por encima de mi casa. La altura del avión es de 8 km y su velocidad es de 900 km/h. Calcula la velocidad a la que varía el ángulo visual cuando el avión está a 6km y se acerca hacia mi casa

[JCB]

Hola a tod@s.

Suponiendo que se pueda despreciar la curvatura de la Tierra y la curvatura de la trayectoria del avión, me da

\( \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{hv}{(d_0-vt)^2+h^2} \), donde:

\( \theta= \)ángulo que forma la visual con el eje horizontal.

\( h=8.000\ m \).

\( v=900\ km/h=250\ m/s \).

\( d_0=6.000\ m \).

A ver si a alguien le sale algo parecido.

Saludos cordiales,
JCB.

[ani_pascual]

Hola:

...

A ver si a alguien le sale algo parecido.

Concuerdo con tu resultado:

\( \tan\theta (t)=\dfrac{h}{6-vt}\Longrightarrow \theta(t)=\arctan\dfrac{h}{6-vt}\Longrightarrow \theta'(t)=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{h}{6-vt}\right)^2}\cdot \dfrac{hv}{(6-vt)^2}=\dfrac{hv}{(6-vt)^2+h^2} \)
Saludos... cordiales 

[delmar]

Hola

Adjunto un esquema.



Se tiene que en forma general \( Tg \theta=\displaystyle\frac{8000}{x} \) donde \( \theta \) es el ángulo de la visual, es una función del tiempo al igual que x derivando respecto al tiempo t se tiene :

\( sec^2 \theta \ \theta'=-\displaystyle\frac{8000}{x^2}x' \) pero \( x'=-250 \)  m/s, es la velocidad del avión que se mueve a la izquierda por la referencia XY tomada, por  eso es negativa. Operando se llega a :

\( \theta'=\displaystyle\frac{-8000}{x^2} \ cos ^2 \theta \ x' \)
 
Para el instante considerado \( x=6000 \) m, \( cos \theta=\displaystyle\frac{6000}{\sqrt[ ]{6000^2+8000^2}} \) y claro \( x'=-250 \) m/s. Con esos datos :

\( \theta'=\displaystyle\frac{-8000}{6000^2} \ \displaystyle\frac{6000^2}{6000^2+8000^2} \ (-250)=0.02 \) rad /s


Saludos

Nota : En la solución de JCB veo un t que me despista

[ani_pascual]

Hola:

...
Nota : En la solución de JCB veo un t que me despista

Solo hay que sustituir \( t=0 \); para valores de \( t \) mayores que cero se obtendría la velocidad de variación del ángulo de la visual de un punto situado a menor distancia de \( 6\,km \) del observador.
Saludos

[LukeJackson]

Hola a tod@s.

Suponiendo que se pueda despreciar la curvatura de la Tierra y la curvatura de la trayectoria del avión, me da

\( \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{hv}{(d_0-vt)^2+h^2} \), donde:

\( \theta= \)ángulo que forma la visual con el eje horizontal.
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\( h=8.000\ m \).

\( v=900\ km/h=250\ m/s \).

\( d_0=6.000\ m \).

A ver si a alguien le sale algo parecido.

Saludos cordiales,
JCB.

Estoy tratando de resolver esta ecuación diferencial para encontrar \( \theta \) en función del tiempo, pero me estoy atascando en algunos pasos. ¿Alguien podría echarme una mano y mostrarme cómo avanzar en la solución de esta ecuación? Agradecería cualquier orientación o ejemplo que puedan ofrecer. Saludos cordiales, JCB.

[ani_pascual]

Hola:

...
Estoy tratando de resolver esta ecuación diferencial para encontrar \( \theta \)
en función del tiempo, pero me estoy atascando en algunos pasos. ¿Alguien podría echarme una mano y mostrarme cómo avanzar en la solución de esta ecuación? Agradecería cualquier orientación o ejemplo que puedan ofrecer. Saludos cordiales, JCB.

Pero .... si ya sabes que es \( \theta(t)=\arctan\left(\dfrac{h}{d_0-vt}\right) \)   
Saludos